Polynomdivision mit komplexen Zahlen

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Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Hallo
ich habe hier eine riesengroße Funktion
f(z) = z^6 + (5 − i)z^5 + (5 − 5i)z^4 − (11 + 5i)z^3 − (36 − 11i)z^2 − (36 − 36i)z + 36i ∈ C[z].

Jetzt soll ich zeigen dass z1 = i eine Nullstelle ist.

Term umgeformt:
f(z) = (z−i)·(z^5+5z^4+5z^3−11z^2−36z−36)

Ich weiss jetzt, dass ich P(i) ausrechnen müsste, um danach P(z) / (z- i) machen zu können.

Könnt ihr mir aber Ansätze geben, wie ich P(i) ausrechne?

Danke
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RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Das ist leider komplett unleserlich, repariere das mal bitte, gerne mit dem Formeleditor. Wenn du schon dabei bist, mal heißt es f dann P.
Wenn es nur darum geht nachzuweisen, das i eine Nullstelle des Polynoms ist, dann musst du einfach nur einsetzen.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
f(z) = z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i Element C[z].

Term umgeformt:
f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36)

So ists korrekt, sorry!
_______________

Genau ich meinte F(i) natürlich
_______________

Einsetzen? für z=i also?
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RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Ja.
Wenn du die Zerlegung f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36) schon hast, ist das doch trivial, weil der erste Faktor offenbar Null wird.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Wie lautet dann die Rechnung für die Polynomdivision?
Sowas wie (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36)/(z-i) habe ich noch nie gesehen
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RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Ich verstehe dein Problem gerade nicht.
Woher kommt denn bei dir die Darstellung f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36) ?
Üblicherweise ist der zweite Faktor das Ergebnis der Polynomdivision von f(z) durch den Faktor (z-i) verwirrt

Wofür willst du überhaupt eine Polynomdivision machen? Für den Nachweis, dass z=i eine Nullstelle von
f(z)=z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i
ist, kann einfach z=i in diesen Ausdruck einsetzen. Die obige Darstellung braucht man dafür nicht.
 
 
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
ich mein ich verstehs auch nicht wirklich. warum wird dann für die ermittelung der nullstelle (z=i) eine polynomdivision gefordert?
__________________

Zeigen Sie mittels Polynomdivision, dass z1 = i eine Nullstelle ist.
__________________

SO lautet die Aufgstellung
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RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Dann würde man eben für f(z)=z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i
eine Polynomdivision durch z-i ausführen und als Ergebnis z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36 =:h(z) bekommen.
Die Division geht also auf und folglich ist z=i eine Nullstelle von f.
Wenn einem das noch fremd ist, schreibt man die Polynomdivision eben um in , das ist die von dir genannte Darstellung, und setzt darin z=i ein. Das ist natürlich viel einfacher einzusetzen, als in die ursprüngliche Form von f. Dafür hat man sich aber auch durch die Polynomdivision gekämpft.
Grundsätzlich kann man sich merken: Geht die Polynomdivision p(z)/(z-a) auf, dann ist a Nullstelle von p.
Wenn man schon eine Darstellung p(z)=(z-a)h(z) hat, dann ist Polynomdivision durch z-a überflüssig, bzw. trivial. Einfach den Faktor z-a streichen und man hat das Ergebnis der Polynomdivision. Was einem das hier dann nützen soll, entgeht mir.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen
Okay vielen Dank bisher ich verstehe dich ja, aber es geht mir nun um diese Polynomdivision und wie ich die mit z-i als Divisor hinkriegen würde.

Kannst du mir evtl da Ansätze geben? Bei mir käme jetzt z.b. für den ersten Teil
z^6 +5z^5 / (z-1) = z^5
-z^6 + iz^5


Wie gehe ich danach vor? Einfach die Differenz ziehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Fernziel, zu dem sich Martin1999 noch nicht klar geäußert hat, ist wohl die Bestimmung aller Nullstellen von - nehme ich zumindest an. In dem Fall würde natürlich die Betrachtung des Restfaktors nach Division durch schon Sinn machen.

Immerhin ist die Ansage schon ein wenig klarer als hier, wenn auch nicht viel. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ein wenig Probieren findet man als Nullstellen. Also kann man das Polynom



abspalten.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »

hahahahaa die gute alte Sofia
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
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