Polynomdivision mit komplexen Zahlen |
10.07.2020, 14:26 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Polynomdivision mit komplexen Zahlen ich habe hier eine riesengroße Funktion f(z) = z^6 + (5 − i)z^5 + (5 − 5i)z^4 − (11 + 5i)z^3 − (36 − 11i)z^2 − (36 − 36i)z + 36i ∈ C[z]. Jetzt soll ich zeigen dass z1 = i eine Nullstelle ist. Term umgeformt: f(z) = (z−i)·(z^5+5z^4+5z^3−11z^2−36z−36) Ich weiss jetzt, dass ich P(i) ausrechnen müsste, um danach P(z) / (z- i) machen zu können. Könnt ihr mir aber Ansätze geben, wie ich P(i) ausrechne? Danke |
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10.07.2020, 14:45 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Das ist leider komplett unleserlich, repariere das mal bitte, gerne mit dem Formeleditor. Wenn du schon dabei bist, mal heißt es f dann P. Wenn es nur darum geht nachzuweisen, das i eine Nullstelle des Polynoms ist, dann musst du einfach nur einsetzen. |
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10.07.2020, 14:49 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen f(z) = z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i Element C[z]. Term umgeformt: f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36) So ists korrekt, sorry! _______________ Genau ich meinte F(i) natürlich _______________ Einsetzen? für z=i also? |
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10.07.2020, 14:59 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Ja. Wenn du die Zerlegung f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36) schon hast, ist das doch trivial, weil der erste Faktor offenbar Null wird. |
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10.07.2020, 15:06 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Wie lautet dann die Rechnung für die Polynomdivision? Sowas wie (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36)/(z-i) habe ich noch nie gesehen |
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10.07.2020, 15:35 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Ich verstehe dein Problem gerade nicht. Woher kommt denn bei dir die Darstellung f(z) = (z-i)·(z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36) ? Üblicherweise ist der zweite Faktor das Ergebnis der Polynomdivision von f(z) durch den Faktor (z-i) Wofür willst du überhaupt eine Polynomdivision machen? Für den Nachweis, dass z=i eine Nullstelle von f(z)=z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i ist, kann einfach z=i in diesen Ausdruck einsetzen. Die obige Darstellung braucht man dafür nicht. |
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10.07.2020, 15:51 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen ich mein ich verstehs auch nicht wirklich. warum wird dann für die ermittelung der nullstelle (z=i) eine polynomdivision gefordert? __________________ Zeigen Sie mittels Polynomdivision, dass z1 = i eine Nullstelle ist. __________________ SO lautet die Aufgstellung |
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10.07.2020, 16:12 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Dann würde man eben für f(z)=z^6 + (5-i)z^5 + (5-5i)z^4 - (11 + 5i)z^3 - (36 - 11i)z^2 - (36- 36i)z + 36i eine Polynomdivision durch z-i ausführen und als Ergebnis z^5+5z^4+5z^3-11z^2-36z-36 =:h(z) bekommen. Die Division geht also auf und folglich ist z=i eine Nullstelle von f. Wenn einem das noch fremd ist, schreibt man die Polynomdivision eben um in , das ist die von dir genannte Darstellung, und setzt darin z=i ein. Das ist natürlich viel einfacher einzusetzen, als in die ursprüngliche Form von f. Dafür hat man sich aber auch durch die Polynomdivision gekämpft. Grundsätzlich kann man sich merken: Geht die Polynomdivision p(z)/(z-a) auf, dann ist a Nullstelle von p. Wenn man schon eine Darstellung p(z)=(z-a)h(z) hat, dann ist Polynomdivision durch z-a überflüssig, bzw. trivial. Einfach den Faktor z-a streichen und man hat das Ergebnis der Polynomdivision. Was einem das hier dann nützen soll, entgeht mir. |
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10.07.2020, 16:38 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Polynomdivision mit komplexen Zahlen Okay vielen Dank bisher ich verstehe dich ja, aber es geht mir nun um diese Polynomdivision und wie ich die mit z-i als Divisor hinkriegen würde. Kannst du mir evtl da Ansätze geben? Bei mir käme jetzt z.b. für den ersten Teil z^6 +5z^5 / (z-1) = z^5 -z^6 + iz^5 Wie gehe ich danach vor? Einfach die Differenz ziehen? |
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10.07.2020, 17:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Fernziel, zu dem sich Martin1999 noch nicht klar geäußert hat, ist wohl die Bestimmung aller Nullstellen von - nehme ich zumindest an. In dem Fall würde natürlich die Betrachtung des Restfaktors nach Division durch schon Sinn machen. Immerhin ist die Ansage schon ein wenig klarer als hier, wenn auch nicht viel. |
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10.07.2020, 19:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mit ein wenig Probieren findet man als Nullstellen. Also kann man das Polynom abspalten. |
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10.07.2020, 21:38 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hahahahaa die gute alte Sofia |
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10.07.2020, 21:50 | Martin1999 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für Eure Hilfe!!! |
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