Vollständige Induktion

23.07.2020, 08:57

DividedByZero

Vollständige Induktion

Hallo,

ich würde gerne folgende Ungleichung mittels vollständiger Induktion zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang und -voraussetzung sind auf dem Papier und ich würde gerne nur den Induktionsschritt hier niederschreiben. Mir kam es iwie zu einfach vor und ich würde euch bitten meine Lösung auf Korrektheit zu überprüfen:

n -> n+1, Es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{n+2} < \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2} = \frac{2n!\cdot (2n+1)\cdot (2n+2))}{(n!)^2 \cdot (n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Nach I.V. folgt:

$\begin{eqnarray*} > \frac{4^n}{n+1} \cdot \frac{(2n+1)\cdot(2n+2)}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Der Zähler im rechten Faktor ergibt 4n^2 +5n+2 . was offensichtlich größer 4 ist für alle n größer 2.
Daher kann man die ober Gleichung abschätzen:
$\begin{eqnarray*} > \frac{4^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{4^{n+1}}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$

Und da (n+1)^3 > n+2 ist für alle n größer 2, folgt:
$\begin{eqnarray*} > \frac{4^{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

23.07.2020, 09:47

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von DividedByZero
Und da (n+1)^3 > n+2 ist für alle n größer 2, folgt:
$\begin{eqnarray*} > \frac{4^{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

Das stimmt leider nicht. Indem du den Nenner kleiner machst, wird der Bruch größer.

Zitat:

Original von DividedByZero
Der Zähler im rechten Faktor ergibt 4n^2 +5n+2 .

Hm, bei mir sind es $\begin{eqnarray*} 4n^2 +6n+2 \end{eqnarray*}$ .

Ich würde erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)\cdot(2n+2)}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ noch kürzen zu $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1) \cdot 2}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt du so abschätzen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1) \cdot 2}{n+1} \geq \frac{4(n+1)}{n+2} \end{eqnarray*}$ ist.

23.07.2020, 11:58

DividedByZero

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Hallo,

Oh ja richtig, es muss selbstversändlich 4n^2 + 6n +2 heißen.

Ok, es macht Sinn, dass man $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1) \cdot 2}{n+1} \geq \frac{4(n+1)}{n+2} \end{eqnarray*}$ zeigt, weil man dann

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1}\cdot \frac{(2n+1) \cdot 2}{n+1} \geq \frac{4^n}{n+1}\cdot \frac{4(n+1)}{n+2} = \frac{4^{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

erhält.

Man erhält mit Bruchrechnung, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1) \cdot 2}{n+1} - \frac{4(n+1)}{n+2} =\frac{4n^2+10n +4 -4n^2-8n-4}{(n+1)\cdot(n+2))} = \frac {2n}{(n+1)\cdot(n+2)} > 0 \end{eqnarray*}$

(Zähler und Nenner sind größer 0, also ist der Bruch auch größer 0)

Ist das so in Ordnung ?

23.07.2020, 12:05

klarsoweit

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Ja, jetzt paßt es. Freude

23.07.2020, 12:08

DividedByZero

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Vielen Dank Wink

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