Lineare Abbildungen zwischen endlich erzeugten Vektorräumen sind stetig

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silenceofthreeparts Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen zwischen endlich erzeugten Vektorräumen sind stetig
Ich bin beim Lernen auf die Frage "Sind alle Homomorphismen von V nach W stetig?" gestoßen, und als Antwort war verlangt

- ist V endlich erzeugt, dann ja, mit Beweis

So einen Beweis finde ich jedoch nicht im Skript, und weiß selbst nicht, wie ich ihn führen sollte. Kann mir jemand helfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst muss doch eine Topologie auf den Vektorräumen definiert sein, sonst sind die Vektorräume keine topologischen Räume und von Stetigkeit kann man nicht reden. Spezielle Vektorräume sind dann topologische Vektorräume, auf denen die Addition und Skalarmultiplikation stetig sind. Hast du bei der Aufgabe ein paar Voraussetzungen vergessen ?
silenceofthreeparts Auf diesen Beitrag antworten »

Das war leider nur eine Aufgabe in einem Gedächtnisprotokoll, welches ein anderer Student geschrieben hatte, deswegen stand da nichts weiter.

Kann man dafür vielleicht verwenden, dass ein Vektorraum der Dimension isomorph zu ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Auf endlich-dimensionalen Vektorräumen gibt es eine kanonische Topologie. Diese ist von den Normen auf dem Vektorraum erzeugt.

Daher vermute ich die Aufgabe müsste heißen:
Lineare Abbildungen zwischen endlich-erzeugten, normierten Vektorräumen sind stetig

Für andere Topologien ist die Aussage im Allgemeinen falsch. Es gibt schon Metriken, die Topologien erzeugen, welche als Gegenbeispiele dienen.
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