Dreieck minimaler Umfang

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Lido Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck minimaler Umfang
Meine Frage:
Bei einem Rechteck befinden sich in zwei benachbarten Ecken zwei Punkte. Diese beiden Punkte bilden zusammen mit einem dritten Punkt auf der gegenüberliegenden Seite ein Dreieck. Wie muss die Lage dieses Punktes sein, damit der Umfang des Dreiecks minimal wird?

Meine Ideen:
Mir ist klar dass der Punkt auf dem Mittelpunkt der Seite liegen muss, aber wie ich auch herangehe gelingt mir kein Beweis
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

sei in üblicher Bezeichnung einmal herum das Rechteck. seien die festen Punkte, auf der Seite der veränderliche Punkt des Dreiecks.
Untersucht werden muß nur die Streckensumme von und . Wann ist diese minimal? Es sei der Bildpunkt von bei Spiegelung an der Strecke . Statt des Streckenzugs von über nach betrachtet man den Streckenzug von über nach .

(Der Trick mit dem Spiegeln ist ein ganz alter bei solchen Aufgabentypen. Ohne ihn geht es fast nicht, und mit ihm ist die Aufgabe fast schon gelöst.)
Lido Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe. Wirklich ein sehr raffinierter Trick...
Also reicht für den Beweis, dass A zu B' denselben Abstand hat wie zu B. Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist eine Gerade und mithilfe des Strahlensatzes befindet sich der Punkt E genau in der Mitte der Strecke DC.

Reif für die Abgabe?
G240820 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Der Trick mit dem Spiegeln ist ein ganz alter bei solchen Aufgabentypen.)


Wie kommt man auf den Trick, wenn man ihn nicht kennt?
Nicht jeder hat die nötige Erfahrung.
Trick klingt für mich irgendwie unserlös im Bereich der sonst so nüchternen Mathematik. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lido
Reif für die Abgabe?


Reif für die Abgabe.

Zitat:
Original von G240820
Wie kommt man auf den Trick, wenn man ihn nicht kennt?
Nicht jeder hat die nötige Erfahrung.
Trick klingt für mich irgendwie unserlös im Bereich der sonst so nüchternen Mathematik. verwirrt


Wenn es dich stört, dann sag statt "Trick" einfach "Lösungsidee".
Im übrigen basieren viele mathematischen Lösungswege auf einem "Trick". Zum Beispiel der Trick mit der quadratischen Ergänzung. Es ist ja auch nicht so, daß der gemeine Schüler von alleine auf die abc-Formel kommt. Da helfen Lehrer und Schulbuch etwas mit. Und an der entscheidenden Stelle wird die quadratische Ergänzung eingesetzt. Ein toller Trick, er dürfte mehrere tausend Jahre alt sein und aus dem Zweistromland stammen.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne "Trick" geht es auch mit Differenzieren, seien a und b die Seitenlängen vom Rechteck, L die Summe der Länge^2 der beiden Schenkel:





 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Luftikus

Deine Lösung stimmt nicht. Zunächst wäre es deine Aufgabe gewesen, deinen Ansatz zu erklären. So fehlt unter anderem die Bedeutung von . Man muß sich das zusammenraten und kommt darauf, daß der variable Dreieckspunkt auf der Rechtecksstrecke mit der Länge liegt und das Verhältnis der Teilstrecken angibt.
Schwieriger wiegt dein . Das richtige wäre



Du kannst nicht einfach ohne weitere Erläuterungen die Längen durch ihre Quadrate ersetzen, denn .
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sehen wir es mal als weitere Aufgabe an, warum und dieselben Minimalstelle haben. Was meinst du, warum ist das so? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast halt eine Funktion angegeben, die symmetrisch zu ist. Dann ergibt sich natürlicherweise die Extremalstelle .

Du wolltest eben auch "trickreich" sein, obwohl du das Gegenteil behauptetest. Nur leider hast du den "Trick" falsch angewendet.

Leichte Änderung der Aufgabensituation.
Betrachten wir das rechtwinklige Trapez mit



Der Punkt bewege sich auf der Strecke :



Sind nun die Längen der Strecken beziehungsweise , dann besitzt sein Minimum bei , dagegen nimmt sein Minimum bei an.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du hast halt eine Funktion angegeben, die symmetrisch zu ist. Dann ergibt sich natürlicherweise die Extremalstelle .


Meine Lösung bezieht sich auf die vorherige Aufgabenstellung. Sie löst eben dieses Problem.

Zitat:

Du wolltest eben auch "trickreich" sein, obwohl du das Gegenteil behauptetest. Nur leider hast du den "Trick" falsch angewendet.

Leichte Änderung der Aufgabensituation.
Betrachten wir das rechtwinklige Trapez mit



Der Punkt bewege sich auf der Strecke :



Sind nun die Längen der Strecken beziehungsweise , dann besitzt sein Minimum bei , dagegen nimmt sein Minimum bei an.


Dies ist eine andere Aufgabe und hat nichts mit der vorherigen Aufgabe zu tun.
Mich irritiert etwas deine inadäquate Art mit Problemstellungen umzugehen. Jedes Problem hat seine Lösung. Dein "Trick" funktioniert ja auch nicht immer smile
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie dem sei, schreib deine Wurzeln in der ursprünglichen Aufgabe dazu. Ändert aber nichts am Ergebnis.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du unterstellst: Ob man die Summe zweier Streckenlängen minimiert oder die Summe der Quadrate dieser Streckenlängen, läuft auf dasselbe hinaus. Die Minimalstelle ändert sich nicht. Und das ist schlicht und einfach falsch (0 Punkte). Mein Beispiel ist ein einfaches Gegenbeispiel zu deiner These. Es widerlegt diese nämlich. Zu einem anderen Zweck habe ich dieses Beispiel nicht erfunden.
Niemals habe ich behauptet, daß mein "Trick" in jeder denkbaren Situation funktioniert. Und weil ich das nicht behauptet habe, brauchst du das auch nicht zu widerlegen.

Wenn man in der Mathematik widerlegt ist, sollte man sich einsichtig zeigen. Mit sturem Beharren auf unhaltbaren Positionen macht man sich nur lächerlich.

Zitat:
Original von Luftikus
Aber wie dem sei, schreib deine Wurzeln in der ursprünglichen Aufgabe dazu. Ändert aber nichts am Ergebnis.


Dann rechne deinen Ansatz mit den Wurzeln durch. Dagegen habe ich doch gar nichts. Nur deine Vereinfachung ist nun mal falsch.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe gar nichts unterstellt. Das unterstellst du offenbar mir.
Ich habe nur eine Lösung des Problems angegeben. Du behauptest, die Lösung wäre falsch. Das ist falsch, die Lösung ist richtig. Es ist gut, wenn du darauf hinweist, dass im Allgemeinen dieser "Trick" nicht so funktioniert, wie auch dein "Trick" nicht allgemein. Dein Beispiel ist ein gutes Beispiel, aber unabhängig von der Aufgabe. Diese "Vereinfachung" stammt ja von dir, sie trifft in meinem Falle ja gar nicht zu.
Aber ich will mit dir gar nicht streiten, ich schätze deine Urteile, verbleiben wir so, dass man immer prüfen sollte, wann und welche "Tricks" man anwendet. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Du behauptest, die Lösung wäre falsch. Das ist falsch, die Lösung ist richtig.


Deine Lösung ist falsch.

Du tust ja gerade so, als könne man Wurzeln einfach ignorieren:



Diese Funktion nimmt bei ihr Maximum an.



Diese Funktion ist konstant. Das Weglassen der Wurzel ändert alles.

Zitat:
Original von Luftikus
Aber ich will mit dir gar nicht streiten, ich schätze deine Urteile, verbleiben wir so, dass man immer prüfen sollte, wann und welche "Tricks" man anwendet. smile


Ablenkungsmanöver. Diese kumpelhafte Tätscheln "jetzt sei mal nicht so" ist unangemessen. Im Falschen gibt's keine Kompromisse "Schwamm drüber". Wir sind hier nicht in der Politik, sondern in der Mathematik.

Deine Lösung ist falsch.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar bist du ein Meister von fingieren falscher Beispiele.
Was hat das alles mit der Aufgabe zu tun? Nur weil du offenbar nicht verstehst, warum es funktioniert, heisst nicht, dass es hier falsch ist. Das richtige Ergebnis kommt mit meiner Methode in diesem Falle heraus, und das hat seinen Grund. Es liegt an dir, diesen Grund verstehen zu wollen. Es liegt nicht an dir, ein richtiges Ergebnis falsch reden zu können.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Da gefällt mir Albert Einstein wesentlichen besser. Kurz und bündig konstatierte er:

meine größte Eselei?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Da gefällt mir Albert Einstein wesentlichen besser. Kurz und bündig konstatierte er:

meine größte Eselei?


Ironischerweise ist gerade heutzutage die kosmologische Konstante notwendig. Die "größte Eselei" ist auch heute eher in seiner Haltung zur Quantenmechanik zu sehen.

Aber denke, mit Einstein will sich hier keiner vergleichen. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ich muß meine Lösung begründen, sondern du.

Zitat:
Original von Luftikus
seien a und b die Seitenlängen vom Rechteck, L die Summe der Länge^2 der beiden Schenkel:


Du hast die Aufgabe gelöst, die Summe der Quadrate der beiden Seitenlängen (von dir mit dem falschen Begriff "Schenkel" bezeichnet) zu minimieren. Diese Aufgabe hast du richtig gelöst. Das war aber gar nicht die Aufgabe. Die Aufgabe lautete, die Summe der beiden Seitenlängen zu minimieren. Und diese Aufgabe hast du nicht gelöst. Du tust so, als seien die beiden Aufgaben dasselbe. Daß dem nicht so ist, habe ich in mehreren Beispielen ausführlich dargelegt. Jetzt wäre es an dir, die Äquivalenz der beiden Aufgaben nachzuweisen. Dagegen sträubst du dich beharrlich. Was ich gut verstehen kann, denn meine Gegenbeispiele beweisen ja gerade, daß diese Äquivalenz in einem allgemeinen Sinne nicht bestehen kann. Also kann es einen derartigen Beweis niemals geben. Letzten Endes unterstellst du . Das ist aber falsch, wie man schon in der Mittelstufe eines Gymnasiums lernt. Jetzt mag es sein, daß die beiden Aufgaben im Spezialfall der Aufgabe aber äquivalent sind. Aber auch dann müßtest du das nachweisen.

Ich werde mich nicht weiter mit dir streiten, weil ich es nicht mag, persönliche Auseinandersetzungen in wissenschaftlichen Diskursen auszutragen. Halten wir daher fest: Du verstehst nicht, warum du falsch liegst. Es nicht meine Aufgabe, auch den letzten Uneinsichtigen von der Falschheit seiner Position zu überzeugen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
(Der Trick mit dem Spiegeln ist ein ganz alter bei solchen Aufgabentypen. Ohne ihn geht es fast nicht, und mit ihm ist die Aufgabe fast schon gelöst.)

Was kann man tun, wenn einem der schöne Spiegeltrick nicht einfällt? Man kann den Weg von Luftikus in korrekter Form probieren. Das erweist sich aber als recht unhandlich. Aber eine Umformulierung der Behauptung kann helfen.

Die Behauptung lautet: Bei einem Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebener Fläche ist der Umfang dann am kleinsten, wenn die beiden anderen Seiten und gleich lang sind. Diese Behauptung ist äquivalent zu: Bei einem Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenem Umfang ist die Fläche dann am größten, wenn die beiden anderen Seiten und gleich lang sind.

Es ist dann die Fläche unter der Nebenbedingung zu maximieren. Statt kann man auch maximieren. Mit der Heronischen Formel für die Fläche hat man die Lagrangefunktion



Nullsetzen der partiellen Ableitungen von nach und
ergibt:





Daraus folgt sofort q.e.d.
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