Vollständige Induktion k=1 bis 2n-1

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Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion k=1 bis 2n-1
Meine Frage:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Aussage:
Für alle natürlichen Zahlen gilt die Gleichung:

Meine Ideen:
Ich habe mal versucht von der rechten Seite der Gleichung anzufangen. Jedoch fällt es mir schwer den letzten + 1 zu ermitteln, da k bei n anfängt.

1) n = 1 auf beiden Seiten eingesetzt kommt bei beiden 1 raus passt.
2) n -> n+1: Hier habe ich das Problem das n+1 zu ermitteln.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Anders herum beginnen

Der Induktionsschritt :

Induktionsannahme
Für ein gewisses gelte


Induktionsbehauptung
Unter der Induktionsannahme ist

nachzuweisen.

Nachweis der Induktionsbehauptung

Man beginnt links, zieht die letzten beiden Glieder aus der Summe heraus:



und setzt jetzt die Induktionsannahme ein:



Dann wird das erste Summenglied aus der Summe heraugezogen:



Jetzt führe das zu Ende.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss in deiner letzten Zeile die obere Grenze der Reihe nicht 2n+1 sein ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wieso sollte sich die obere Summationsgrenze ändern, nur weil ich den ersten Summanden, also den für , aus der Summe herausziehe?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der ersten Zeile der Behauptung, komme ich auf:

Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Zeile habe ich verstanden. Man muss für n irgendeine natürliche Zahl wählen
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(Kleiner Schreibfehler bei dir: Pluszeichen fehlt.)
Das ist dasselbe wie bei mir. Beachte nämlich

Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir passt es auf jeden Fall. Also ich weiss nicht welches Pluszeichen du meinst
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast006
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja Danke
Wenn ich das alles auf einen Nenner bringe, bekomme ich da folgendes raus:









Wie muss ich denn weiter machen ?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

im Nenner fällt ab Zeile 3 weg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichheitszeichen fehlen.

Die zweite Zeile stimmt noch. In der dritten Zeile taucht auf einmal wieder auf, obwohl das doch längst verarbeitet ist (später verschwindet es wieder). Die vierte und fünfte Zeile sind überflüssig. Du machst alles wieder kaputt, was du längst erreicht hast. Denk einmal an das Ziel. Eigentlich bist du schon fertig.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso bin ich denn schon fertig ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Induktionsbehauptung
Unter der Induktionsannahme ist

nachzuweisen.


Das Ziel ist rot gemalt. Jetzt überlege selber, warum du da bereits angekommen bist.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Sumannden vor dem Summationszeichen gleich sind ?

und

Aber die sind ja eben nicht gleich, da beim einen Summand ein negatives Vorzeichen ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast006
Weil die Sumannden vor dem Summationszeichen gleich sind ?

und

Aber die sind ja eben nicht gleich, da beim einen Summand ein negatives Vorzeichen ist


Das erste ist richtig, denn das hast du herausbekommen. Das zweite ist falsch. Wo da das Minuszeichen auf einmal herkommt, ist schleierhaft. Es nutzt auch nichts, wenn du da auf einmal nur Teilterme hinschreibst, du mußt alles (!) aufschreiben.

Wie weit sind wir gekommen?



Und das ist doch dasselbe wie das Ziel (rot in meinem vorigen Beitrag). Das mußt du schon selber sehen, warum das so ist. Beschreibe einfach den Vorgang. Weiter kann ich dir nicht mehr helfen.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du doch auch raus. Siehe erste Zeile in der Behauptung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind doch schon viel weiter. Wieso gehst du jetzt auf einmal wieder rückwärts?

Tip 1
Beginne mit der gesamten Rechnung noch einmal von vorne und mache dir jeden Schritt klar. Vergiß keine Gleichheitszeichen und schreibe nicht nur Teile der Rechnung auf, sondern immer alles.

Tip 2
Wenn das alles nichts hilft, dann wird das nichts mehr heute abend. Da empfehle ich Bettruhe. Morgen kannst du dann mit frischem Mut neu an die Sache herangehen.

Hier ist jetzt Schluß.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

hast du in der ersten Zeile und in der zweiten Zeile auch noch, in deiner Induktionsbehauptung
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Hää ich habe doch bereits alles verstanden. Ich gehe hier aber auf etwas ein, was angeblich ja falsch ist weil da ein Negatives Vorzeichen ist. Also wenn das ein Fehler sein sollte, dann hast du es ganz am Anfang ebenfalls falsch gemacht, wobei ich nicht davon ausgehe.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Habs jetzt doch noch hinbekommen.
Danke dir für deine Hilfe
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