Formulierung / Basis von Funktion im R^3

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01.10.2020, 16:37	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Formulierung / Basis von Funktion im R^3 Meine Frage: Hey liebe Community, ich habe eine Basis einer Funktion, nur wie schreibt man sie mathematisch richtig auf? Ich habe folgende Abhängigkeit einer Matrix: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A = \begin{pmatrix} 2& 1 & 1 \\ 5 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} <br /> <br /> B(A) = \left\{ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \| 0 = b_1 - 2.5 b_2 - 3 b_3 \| Es gibt ein x \in \mathbb R^3, sodass Ax = b \right\} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als Basis hätte ich jetzt folgendes geschrieben. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> B = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \| x = t \begin{pmatrix} 2.5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \| t,s \in \mathbb R^3 \right\}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ist das richtig so?
01.10.2020, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht. $\begin{eqnarray} Ax \end{eqnarray}$ ist ein Vektor, der $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ enthält, und seine Komponenten erfüllen nicht die Gleichung $\begin{eqnarray} 0=b_1-2.5b_2-3b_3 \end{eqnarray}$ . Selbst wenn es so wäre, wäre $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ein Vektorraum und keine Basis. Als Basis von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ könnte man die beiden Vektoren nehmen, die in der Mengenklammer stehen. Nur leider ist eben wie gesagt $\begin{eqnarray} B(A)\ne B \end{eqnarray}$ . Wie sollte das auch möglich sein, da du für die Berechnung von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zwar die Gleichung in $\begin{eqnarray} B(A) \end{eqnarray}$ benutzt aber nirgends $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ berücksichtigst ?
01.10.2020, 18:37	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry. der obere Latexcode beschreibt einen Vektorraum welcher nur Einträge für die 0=b1.... Gleichung besitzt. Es ging mir jetzt darum eine Basis zu finden für den Vektorraum. Der Vektorraum ist mit $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ angegeben. Der untere Latexcode ist die Basis (mit B akgekürzt). Das dortige x ist komplett unabhängig vom oberen Vektorraum. Ich hätte hier b verwenden sollen.
01.10.2020, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Aufgabe richtig gestellt ist, dann musst du sie lösen. Berechne $\begin{eqnarray} Ax \end{eqnarray}$ und setze seine Komponenten in die Gleichung ein. Das ergibt eine lineare Gleichung in $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ , also eine Ebene. Berechne dann eine Basis dieser Ebene.
01.10.2020, 18:49	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab der Einfachheit halber die Aufgabe gekürzt. a) bestand darin B(a) zu finden zu der angegebenen Matrix. Das habe ich bereits mit der erstellten Abhängigkeit 0=b1-2.5b2... getan. (keine Frage dazu) b) bestand darin zu B(a) eine Basis zu finden, und dazu hingehend war meine Frage, ob es mathematisch richtig ist, eine Ebene als Basis zu nutzen: $\begin{eqnarray} Basis = \left\{ b \in \mathbb R^3; b = s \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2.5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; s,t \in \mathbb R^3\right\} \end{eqnarray}$ Bitte entschuldige meine Schlampigkeit.
01.10.2020, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Ebene ist keine Basis einer Ebene. Eine Basis einer Ebene besteht aus genau 2 Vektoren. In deiner Menge B(A) steht, dass Ax=b sein soll. Ich bezweifle, dass du den Teil a) richtig verstanden und gelöst hast. Wie sieht die Original-Aufgabe aus ?
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01.10.2020, 19:15	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe war wie folgt. Bestimmen Sie die Menge B(A) aller Vektoren b, für die das lineare Gleichungssystem Ax = b lösbar ist, d.h. $\begin{eqnarray} B(A) = \left\{ b \in \mathbb R^3 \| \text{Es gibt ein } x \in \mathbb R^3 \text{, sodass } Ax=b \right\} \end{eqnarray}$ Ist B(A) ein Untervektorraum? (Mit Begründung) Welche Dimension hat B(A)? Geben Sie eine Basis von B(A) an. Mit der Matrix A, wie oben angegeben.
01.10.2020, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf ein anderes Bild von A, also hat sich einer von uns beiden verrechnet. Und wenn ich das Bild habe, habe ich sofort auch eine Basis. Möchtest du mir vorrechnen, was du gemacht hast ?
01.10.2020, 19:50	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gerne, brauche aber ein bisschen.
01.10.2020, 20:28	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab ein lineares Gleichungssystem erstellt und mit Gauß in Zeilenstufenform umgeformt. Kurz: Scheinbar hab ich mich am Anfang verrechnet. Mein Bild ist nun $\begin{eqnarray} L = \left\{ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \| 0 = b_3 -2/3 b_1 - 1/3 b_2 \right\} \end{eqnarray}$ Stimmt dieses mit deinem überein? Wenn nicht würde ich den ganzen Lösungsweg posten.
01.10.2020, 22:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, aber etwas umständlich. Das übliche Vorgehen ist die Bestimmung des Spaltenrangs rg(A)=2, man bekommt ihn durch einen Gauß-Schritt. Dann wählt man die ersten beiden Spaltenvektoren als Basis. Sie liegen im Bild, weil sie die Bilder der ersten beiden Standardbasisvektoren sind, und sie sind offensichtlich linear unabhängig. Um deine Basis zu erreichen, genügt ein zweiter Gauß-Schritt, deswegen habe ich deine Gleichung als korrekt erkannt.
01.10.2020, 23:05	Jedmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Elvis! Ich habe noch eine weitere Frage bezüglich Matrizen im $\begin{eqnarray} R^{m \times n} \end{eqnarray}$ und dem Gleichungssystem Ax = 0 Gibt es hierbei mindestens eine Lösung (Nullvektor) oder immer mehr als eine Lösung?
02.10.2020, 07:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Frage nach dem Kern der linearen Abbildung f:V-->W, die durch die Matrix A dargestellt wird. Kern und Bild sind Untervektorraeume von V bzw. W und werden durch den Gauß-Algorithmus berechnet. Jeder UVR enthält den Nullvektor, dim Bild = Rang A, dim V=dim Kern+dim Bild.

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