Grenzwert verschachtelte Wurzel

19.10.2020, 10:11

superkoalabärchen

Grenzwert verschachtelte Wurzel

Hallo,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Aufgabe gelöst ohne eine innere Wurzel mit Erweitern, aber wenn ich diesen Term jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitere, komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
Aber jetzt bin ich mir unsicher wie ich das umformen soll, damit ich letzendlich den Grenzwert berechnen kann. Hat vielleicht jemand eine Idee, mit was ich anfangen könnte?

19.10.2020, 10:27

G191020

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RE: Grenzwert verschachtelte Wurzel
Klammere Wurzel x im Nenner aus!

19.10.2020, 10:45

Luftikus

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RE: Grenzwert verschachtelte Wurzel

Zitat:

Original von superkoalabärchen
Hallo,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Aufgabe gelöst ohne eine innere Wurzel mit Erweitern, aber wenn ich diesen Term jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitere, komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
Aber jetzt bin ich mir unsicher wie ich das umformen soll, damit ich letzendlich den Grenzwert berechnen kann. Hat vielleicht jemand eine Idee, mit was ich anfangen könnte?

Du könntest jetzt den Nenner als Quadrat mit dem Zähler unter die Wurzelziehen und ausnutzen lim sqrt(..) = sqrt(lim ..) und weiter umformen.

Du kannst aber auch etwas anders vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} = \lim_{x \to \infty } \sqrt{x} \big (\sqrt{1 + \frac{\sqrt{x}}{x}} - 1 \big ) \end{eqnarray*}$

Für sehr grosse x kannst du nun die Wurzel in der Klammer entwickeln und erhältst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} = \lim_{x \to \infty } \sqrt{x} \big (1 + \frac {1}{2} \frac{\sqrt{x}}{x} -1 \big ) = \lim_{x \to \infty } \sqrt{x} \big ( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \big ) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

19.10.2020, 10:58

superkoalabärchen

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Vielen Dank für die Antworten, eine Frage zu deiner Antwort @Luftikus.
Hast du da einen Dreher drin bei $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray*}$ , wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ausklammerst oder ist das so gedacht? und woher genau kommt die 1/2 in der zweiten Zeile, ich hab das Gefühl ich muss meine Rechen Kenntnisse der Wurzelgesetze auffrischen Big Laugh

19.10.2020, 11:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von superkoalabärchen
komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Richtig. Und jetzt klammere im Nenner den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ aus. Dazu bedarf es vorher eines Ausklammerns von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im ersten Radikanden des Nenners:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)} + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \left(\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} + 1\right)} \end{eqnarray*}$

Und nun kannst du kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} + 1}\to \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}}\to 0 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2020, 12:04

superkoalabärchen

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Vielen Dank, jetzt hab ich es endgültig verstanden, mir hat es an den Klammerungsregeln mit Wurzeln gemangelt smile

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