Parameterdarstellung

06.11.2020, 12:30

punktlandung3

Parameterdarstellung

Meine Frage:

Was sind allgemeine Aussagen zur Parametrisierung von Funktionen? Oder wo finde ich solche?

Meine Ideen:
Sofern ich das verstanden habe, reduzieren Parametrisierungen die Zahl der Variablen einer Gleichung (das ist doch schon mal was!). Immer? Können sie auch die Zahl der Variablen sinnvoll erhöhen?
Parametrisierungen führen oft auf eine injektive Abbildung des gleichen Funktionsverlaufes. Kann ich z.B. auch die Sinus- oder Cosinus-Funktion parametrisieren? Ich habe jetzt Parametrisierungen der linearen Funktion, von Kreisfunktionen und quadratischen Funktionen kennengelernt, aber alles sehr abstrakt. Gibt es andere Beispiele, wie würde z.B. eine Schnittpunktberechnung zweier parametrisierter Geraden aussehen?

Vielen Dank im Voraus für Eure Ideen

06.11.2020, 19:30

mYthos

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Gerade die letzte Frage ist von Interesse. In R3 (im 3-dimensionalen Raum, "x-y-z") würde es beim Schnitt zweier Geraden sogar nicht anders funktionieren, denn eine Gerade liegt dort sinnvoll nur in Parameterform vor.

in R2 geht beides, also auch die Auflösung nach den Schnittpunktskoordinaten direkt.

Beispiel: (s, t .. Parameter)
g: X = (1,2) + s(3,4)
h: X = (2,3) + t(1,2)
-------------------------
Schnittpunktberechnung heißt Gleichsetzen (X), dabei entsteht das System

1 + 3s = 2 + t
2 + 4s = 3 + 2t
--------------------

Löse dieses nach s, t und setze in eine der Parametergleichungen ein, es resultiert daraus der Schnittpunkt [(5/2 | 4)]

Wenn die Geraden parallel sind, gibt es keine Lösung, fallen die Geraden zusammen, sind alle Punkte Lösungen (unendlich viele).

_______________________

Bei Geraden in R3 gibt es wegen der 3 Koordinaten noch eine 3. Zeile im linGlSyst. Es bleibt aber bei 2 Parametern.
Existiert ein Schnittpunkt, hat das System eine eindeutige Lösung.
Wenn es keinen Schnittpunkt gibt, hat auch das System keine Lösung. Die Geraden müssen in diesem Fall nicht parallel sein, sie kreuzen dann einander (sind windschief).

mY+

06.11.2020, 23:49

mYthos

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RE: Parameterdarstellung

Zitat:

Original von punktlandung3
... Kann ich z.B. auch die Sinus- oder Cosinus-Funktion parametrisieren? Ich habe jetzt Parametrisierungen der linearen Funktion, von Kreisfunktionen und quadratischen Funktionen kennengelernt, aber alles sehr abstrakt.
...

Abstrakt ist dies eigentlich nicht, man kann sich schnell daran gewöhnen Big Laugh

.
Die Parametrisierung wird dann eingesetzt, wenn mehrere Größen von ein und derselben gemeinsamen Größe abhängen. Z.B. P(x, y, z) von (der Zeit) t.
Sie ist vorteilhaft, um an und für sich komplizierte Berechnungen zu vereinfachen*.

$\begin{eqnarray*} y = \sin(x) \end{eqnarray*}$ kann natürlich auch parametrisiert werden: $\begin{eqnarray*} x = t, \ y = sin(t) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} x = \arcsin(t),\ y = t \end{eqnarray*}$
Ob dies dann zu einem effizienten Ergebnis führt, kann erst die Aufgabenstellung entscheiden.

(*) Beispiel:
Gegeben ist die Parameterfunktion für t > 0

$\begin{eqnarray*} x = 2t^2 - t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = t + 1 \end{eqnarray*}$
-----------------
Berechne die Steigung der Tangente (d.h. den Wert der 1. Ableitung) an der Stelle x = 6.

Weg 1:
Parameter eliminieren:

$\begin{eqnarray*} x = 2y^2 - 4y + 2 - y + 1 \ \to \ 2y^2 - 5y - x + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Implizit differenzieren: $\begin{eqnarray*} 4yy' - 5y' - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{4y - 5} \end{eqnarray*}$ ; aus x = 6 folgt t = 2 (t = -2 ist ausgeschlossen) und y = 3

$\begin{eqnarray*} y'(6) = \frac 1 7 \end{eqnarray*}$
____________________________________________

Weg 2:
Mit Parameter rechnen (die Punkt-Ableitungen sind jene nach dem Parameter t):

$\begin{eqnarray*} \dot x = 4t - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot y = 1 \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{\dot y}{\dot x} = \frac 1 {4t - 1} = \frac 1 {4y - 5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(6) = \frac 1 7 \end{eqnarray*}$ (mit y = 3 von oben)

Dieser Weg ist sicherlich angenehmer.
Überdies kann damit auch die Stelle der senkrechten Tangente (linker oder rechter Extrempunkt) leicht berechnet werden.
Das ist bei x = -1/8 der Fall [(-0.125, 1.25)]. Weshalb?

[attach]52128[/attach]

mY+

20.11.2020, 14:49

punktlandung3

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Zitat:

Dieser Weg ist sicherlich angenehmer.

Genau das meine ich, solche Sachen stehen reihenweise in anwendungsorientierten Mathematikbüchern, unkommentiert ab Seite 3,5. Folgt das aus dem schwartzschen Satz? Ich sehe darin nur eine Skalentransformation wie z.B. zu einer Logarithmischen. Dass die Funktion in transformierten Koordinaten auch eine Tangente hat, ist einleuchtend, aber warum sollte das unweigerlich der Ableitung der ursprünglichen Funktion entsprechen, jedes mal, in allen Koordinatensystemen? Müsste nicht auch der Punkt der gesuchten Tangente von 2t²-t zu 4t-1 umgerechnet werden für das Ergebnis?

Dass bei x = -1/8 eine Extremstelle ist, kann ich durch eine Umkehrfunktion erahnen (und da muss z.B. nach Nullsetzen auch in die ursprüngliche t²-t eingesetzt werden). Das hört aber schon auf, wenn es zwei t² gibt. Ich würde Umkehrfunktionen und dieses Thema gerne auseinander halten können.

20.11.2020, 15:45

mYthos

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Die Tangente ist nun einmal so definiert, dass sie eine Steigung hat, die der 1. Ableitung der Funktion von y nach x entspricht.
Im weiteren Sinne ist sie eine Gerade, welche den Funktionsgraphen in einer bestimmten Umgebung nur ein Mal schneidet, also berührt. Die Tatsache der Berührung führt jedoch unweigerlich wieder zurück zu den Ableitungen.
Dies hängt auch nicht davon ab, ob die Funktion explizit, implizit oder parametrisiert angegeben ist. Man wählt dabei davon immer jene Darstellungsart, die für das gegebene Problem am besten geeignet erscheint.

Zitat:

Original von punktlandung3
... Müsste nicht auch der Punkt der gesuchten Tangente von 2t²-t zu 4t-1 umgerechnet werden für das Ergebnis? ...

Das wird er ja auch! Offensichtlich hast du die Parametrisierung von Funktionen noch nicht ganz verstanden. Augenzwinkern

Im gegebenen Beispiel ergibt sich für den Punkt auf der Kurve mit dem x-Wert x = 6 mittels Einsetzen

$\begin{eqnarray*} 6 = 2t^2 - t \end{eqnarray*}$ und Auflösung nach t > 0: t = 2 und y = t + 1 = 3, somit P(6|3)

Dieser Punkt ist nun Berührungspunkt der Tangente, und da kommen jetzt die Ableitungen ins Spiel.
In Parameterfunktionen gilt immer

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{\dot y}{\dot x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_t = y'_{(t=2)} = \frac 1 {4t - 1} = \frac 1 7 \end{eqnarray*}$

Mit dem (oben berechneten) y-Wert $\begin{eqnarray*} y = 3 \end{eqnarray*}$ kommt es (zur Kontrolle) mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 {4y - 5} = \frac 1 7 \end{eqnarray*}$ natürlich zu dem selben Resultat.

Zitat:

Original von punktlandung3
... Dass bei x = -1/8 eine Extremstelle ist, kann ich durch eine Umkehrfunktion erahnen ...

Das musst du nicht "erahnen", sondern wissen, dass die linken und rechten Extremstellen jene sind, in denen die Tangenten senkrecht verlaufen. Deswegen sind das dann die Stellen mit $\begin{eqnarray*} \dot x (t) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot x= 4t - 1 = 0 \ \to \ t = \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ , Einsetzen in die gegebene Parametergleichung: $\begin{eqnarray*} x = -\frac 1 8; y = \frac 5 4 \end{eqnarray*}$ . Das hängt natürlich auch mit der Umkehrfunktion zusammen.
Diese hat dann an der betreffenden Stelle $\begin{eqnarray*} (\frac 5 4 \ | -\frac 1 8) \end{eqnarray*}$ ein Extremum.

Das Schöne an der Parameterfunktion ist, dass dabei die Umkehrfunktion einfach durch Vertauschen von x und y bzw. der Terme bei x(t) und y(t) angegeben werden kann:

$\begin{eqnarray*} x = t + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 2t^2 - t \end{eqnarray*}$
-----------------

mY+

02.12.2020, 17:46

punktlandung3

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Also Verzeihung wenn ich das nicht richtig verstanden haben sollte, doch wenn es so ist, wie dargestellt,
dann müsste aus $\begin{eqnarray*} y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}} \end{eqnarray*}$ auch gleich $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{y(t)}{x(t)} \end{eqnarray*}$ folgen.
Es wird erst die Ableitung nach t gebildet und dann einfach mit dem Quotient der beiden ist plötzlich auch die Ableitung einer ganz anders dargestellten Funktion erschienen.

02.12.2020, 17:49

punktlandung3

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Was ist mit Polynomen wie $\begin{eqnarray*} x²+2x-y²-2y=0 \end{eqnarray*}$ , da auch das implizite Differenzieren angesprochen wurde, oder mit Vorfaktoren erweiterten Varianten dieser Form?

Als Parametrisierung hätte ich dann bspw.

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1+t}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{1+t}-1 \end{eqnarray*}$
was sich noch veranschaulichen lässt. Unmittelbar abgeleitet nach t ergeben sie für das betrachtete $\begin{eqnarray*} x=6 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \dot{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot{y} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} t=48 \end{eqnarray*}$ , somit trivial $\begin{eqnarray*} y'=1 \end{eqnarray*}$ , was Sinn ergibt.

Leite ich die Gleichung aber implizit ab, entsteht mit
$\begin{eqnarray*} 2x+2 = y'(y+2) \end{eqnarray*}$ ein ungleicher Quotient, mit gleichen t = 48 eingesetzt, macht das $\begin{eqnarray*} y'=\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$ ,

und wenn ich den y-Wert direkt aus der nichtparametrisierten Form nehme,

$\begin{eqnarray*} y_{1,2} = -1\pm\sqrt{1+36+12} \end{eqnarray*}$
entsteht sogar eine zweite Lösung mit $\begin{eqnarray*} y'=-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ !
Und von solchen Fällen, in denen sich der Parameter nicht eliminieren lässt, hat man ja auch schon gehört. Vielleicht habe ich oben ein Vorzeichen ausgelassen, doch ausgehend von der Parameterdarstellung müsste es trotzdem endlich viele Lösungen (1 oder -1) geben.

02.12.2020, 18:08

mYthos

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Zitat:

Original von punktlandung3
Also Verzeihung wenn ich das nicht richtig verstanden haben sollte, doch wenn es so ist, wie dargestellt,
dann müsste aus $\begin{eqnarray*} y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}} \end{eqnarray*}$ auch gleich $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{y(t)}{x(t)} \end{eqnarray*}$ folgen.

Du kannst NICHT einen Quotienten quasi integrieren/differenzieren, indem du das für Zähler und Nenner getrennt machst! Dazu gibt es die entsprechenden Regeln (Quotienten-, Kettenregel, etc.).

Es gilt nur, dass die totale Ableitung dy/dx einer Parameterfunktion [x = x(t), y = y(t)] gleich (dy/dt)/(dx/dt) ist.
Und y = f(x) ist NICHT y(t)/x(t) ! Diese Funktion f(x) bekommt man erst mittels Elimination des Parameters t.

mY+

02.12.2020, 19:00

mYthos

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Zu deiner anderen Frage komme ich gleich.

Da hast du dich leider in einen ordentlichen Wirbel hineingeritten Big Laugh

Das "hinkonstruierte" Polynom ist eine entartete Hyperbel und diese zerfällt in die zwei Kurven y = x und y = - x - 2 (deren Asymptoten).
Überlege dir inzwischen selbst, welche - wesentlich einfachere - Parameterdarstellungen möglich sind (es gibt nämlich deren zwei) ...

Die von dir "erstellte" Parameterdarstellung (woher?) ist ebenso infolge der verschiedenen Vorzeichen der Wurzel nicht eindeutig.
In so einem Fall hat man für die Wurzel ein Vorzeichen zu vergeben.
Die implizite Ableitung ist richtig und erzeugt auch keinen Widerspruch, wenn man für x und y die Koordinaten von Punkten auf den zwei Graphen einsetzt.
Es ergeben sich immer die Steigungen +1 oder -1.

Sowohl 7/4 als auch -7/3 als Lösungen für y' sind falsch. Richtig sind für die beiden getrennten Graphen +1 und -1
----------
Conclusio: Es handelt sich - getrennt - um die beiden Geraden x = t, y = t und x = t, y = - t - 2
Für diese gelten jeweils die Rechenregeln für Parameterfunktionen, ohne weitere Probleme!

mY+

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