Injektivität von Körperhomomorphismen

10.11.2020, 13:46	Apple-Pie	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität von Körperhomomorphismen Meine Frage: Ich hänge gerade bei dem Beweis, dass alle Körperhomomorphismen injektiv sind. Habe mir schon mehrere Beweise im Internet druchgelesen aber ich verstehe sie nicht wirklich. Meine Ideen: Also Grundsätzlich will man ja beweisen, dass der Kern(f) nur das Nullelement enthält. Daraus folgt ja die Injektivität nur verstehe ich die Beweisführung nicht ganz. Die meisten der Beweise sagen auch nur das folgt unmittelbar aus denn Eigenschaften von Körperhomomorphismen, insbesondere aus f(1) = 1. Oder man nimmt an, dass es ein von 0 verschiedene Element im Kern(f) gibt und führt das dann auf einen Wiederspruch. Nur wird nicht weiter ausgeführt wie genau. Ist der Beweis wirklich so trivial?
10.11.2020, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} 0\ne 1,f(0)=0,f(1)=1 \end{eqnarray}$ . Annahme: es gibt ein $\begin{eqnarray} a\ne 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a)=0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} 1=f(1)=f(a\cdot a^{-1})=f(a)\cdot f(a^{-1})=0\cdot f(a^{-1})=0 \end{eqnarray}$ . Widerspruch. Annahme: es gibt $\begin{eqnarray} a\ne b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a)=f(b) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} f(a-b)=f(a)-f(b)=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a-b=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ . Widerspruch.
10.11.2020, 14:17	Apple-Pie	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Den ersten Teil habe ich denke ich verstanden. Man Zeigt also, wenn ein a existiert mit f(a) = 0 dann müsste das bedeuten, dass f(1) = 0. Würde das nicht schon ausreichen um zu Zeigen dass nur die 0 im Kern liegt? Der zweite Zeil verstehe ich nicht so ganz. Also den Beweis schon aber was genau hat das mit dem Problem zu tun?
10.11.2020, 17:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der zweite Teil benutzt den ersten Teil und beweist, dass f injektiv ist. Die Behauptung ist doch nicht, dass der Kern nur die 0 enthält, sondern dass f injektiv ist. Wie würdest du das denn beweisen ? Übrigens ist der Witz beim ersten Teil nicht, dass f(1)=0 ist, das ist doch völlig egal, der Witz ist dass 1=0 ist, und das kann in einem Körper nicht sein. Vielleicht muss ich noch ein Wort zu den Voraussetzungen sagen (falls du es noch nicht bemerkt hast). $\begin{eqnarray} 0\ne 1 \end{eqnarray}$ ist ein Axiom für Körper. Die anderen beiden sind Homomorphie-Eigenschaften, denn $\begin{eqnarray} f(0)=f(0+ 0)=f(0)+ f(0)\Rightarrow f(0)=0, \,\,f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1)\Rightarrow f(1)=1 \end{eqnarray}$ .
12.11.2020, 18:09	Apple-Pie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay jetzt hab ichs, danke!

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