Vektorraum linear abhängig

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killuaxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum linear abhängig
Meine Frage:
Hallo,

wie könnte man begründen dass wenn bei einer nxn matrix 2 spaltenvektoren linear abhängig sind dass wir die determinante 0 als ergebnis bekommen? Ich mein wenn man sichs ausrechnet mit dem satz von sarrus dann sieht man dass das stimmt aber wieso ist dem so ?
dankeschön smile

Meine Ideen:
siehe Frage ^^
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Determinante sollte man nicht von Vornherein "wild" ausrechnen, sondern vorher mittels Zeilen- oder Spaltenoperationen vereinfachen.
Wenn man nun bei linear abhängigen Spalten (oder Zeilen) ein Vielfaches der einen mit der anderen addiert oder subtrahiert, bekommt man eine Null-Zeile oder -Spalte.
Mit anderen Worten, es lässt sich jede Matrix mit linear abhängigen Zeilen oder Spalten so weit umformen, dass eine Null-Zeile oder -Spalte entsteht.
Dann braucht man nicht mehr weiterrechnen, denn dann ist die Determinante unweigerlich Null.

Im übrigen sollte man Determinanten mit dem Entwicklungssatz (Minoren nach Laplace) berechnen.
Man kann letztendlich die beschriebene Eigenschaft bei linear abhängigen Spaltenvekoren auch allgemein beweisen.

mY+
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