Integralgrenzen bestimmen

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LarryBird Auf diesen Beitrag antworten »
Integralgrenzen bestimmen
Meine Frage:
Guten Tag, ich habe folgende kurze Frage:
Ich soll prüfen, für welche a eine Funktion eine W'dichte definiert.
Sei a > 1
Die Funktion lautet für x > 1 und 0 sonst.
Das Vorgehen ist kein Problem und die Berechnung denke ich mal auch nicht, jedoch weiß ich nicht, wie ich die Integralgrenzen bestimme.

Meine Ideen:
Ich hatte an folgendes gedacht:
= .
Nur ist jetzt die Frage ob ich die 1 einschließen darf, da für x > 1.
Danke schonmal! smile

LaTeX-Tag ergänzt. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Dichtewert an einer einzigen Stelle wie spielt keine Rolle für das Integral bzw. überhaupt die Verteilung:

Die Dichte ist nur f.ü. eindeutig festgelegt, im Gegensatz zur Verteilungsfunktion: Da gibt es derlei Spielräume nicht.

--------------------------------------

Ist irgendetwas über vorausgesetzt? Oder ist es Bestandteil der Aufgabenstellung mit anzugeben, für welche es überhaupt ein solches gibt, damit zur Wahrscheinlichkeitsdichte wird? verwirrt
LarryBird Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ja das dachte ich mir auch schon, dass ein einziger Wert keine Rolle spielt. Ich war mir nur nicht sicher. Dankeschön!
Bezüglich des a: Ich hatte mich etwas verschrieben.
a € IR ; lambda > 1. Es müsste in der dritten Zeile natürlich lauten: Sei lambda > 1 und a € IR smile
Meine Lösung lautet demnach:
1. f Riemann-integrierbar, da (stückweise) stetig
2. Integral gleich 1 gesetzt um a zu berchnen
3. a = lambda -1
4. Integralprobe gemacht, ob 1 raus kommt. Stimmt!
5. f(x) >= 0 für a = lambda -1 geprüft. Stimmt!
6. f definiert auf IR eine W'dichte!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, im großen und ganzen richtig.

Zwischen 1. und 2. fehlt aber der Einschub, dass es sich hier genau genommen nicht um ein Riemann-Integral sondern um ein uneigentliches Riemann-Integral handelt. Und für dessen Existenz reicht stückweise Stetigkeit des Integranden allein nicht aus.
LarryBird Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich da mit dem Monotoniekriterium für uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit argumentieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich hätte schlicht mit endlicher oberer Intervallgrenze ausgerechnet; dessen Konvergenz für sieht man dann eigentlich sofort, ohne noch irgendwelche Sätze anfahren zu müssen. Augenzwinkern
 
 
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