Exponentialfunktion auf Matrizen/Logarithmus eines Operators

17.11.2020, 23:08	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion auf Matrizen/Logarithmus eines Operators Guten Abend zusammen, ich habe Frage bezüglich einer Berechnung un mehreren "Rechenregeln" des Matrixexponentials. Als erstes sollten wir in einer Aufgabe das Matrixexponential von $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen. Also $\begin{eqnarray} e^{B} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich als erstes mir Die Exponentialreihe für Matrizen angeschaut , also $\begin{eqnarray} e^{B}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{B^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ Dies habe ich erstmal ausgerechnet : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{B^{k}}{k!}= I+\frac{1}{1!} B+\frac{1}{2!}B^2+\frac{1}{3!}B^3 +\frac{1}{4!} B^4= I+\frac{1}{1!}\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}+\frac{1}{2!}\begin{pmatrix} \lambda^2 & 2\lambda \\ 0 & \lambda^2 \end{pmatrix}+ \frac{1}{3!} \begin{pmatrix} \lambda^3 & 3\lambda^2 \\ 0 & \lambda^3 \end{pmatrix}+\frac{1}{4!} \begin{pmatrix} \lambda^4 & 4\lambda^3 \\ 0 & \lambda^4 \end{pmatrix}+... = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\lambda^k &\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} k\lambda^{k-1} \\ 0 & \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \lambda^k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{\lambda} &\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} k\lambda^{k-1} \\ 0 & e^{\lambda} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist dies erstmal so richtig? Desweiteren sollten wir folgendes noch Beweisen: (I) Ist $\begin{eqnarray} T\in \mathbb C^n \times \mathbb C^n \end{eqnarray}$ invertierbar, so gilt : $\begin{eqnarray} T^{-1}e^{A}T=e^{T^{-1}AT} \end{eqnarray}$ Dies habe ich geschafft war auch nicht so schwer (ii) Hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{i} i=1,...,n \end{eqnarray}$ dann hat $\begin{eqnarray} e^{A} \end{eqnarray}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray} e^{\lambda_{i}} \end{eqnarray}$ Da wir in $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \times \mathbb C^n \end{eqnarray}$ existiert eine invertierbare matrix T aus Eigenvektoren und D Einer Diagonalmatrix mit Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=T^{-1}DT \end{eqnarray}$ mit hilfe von (i) erhalte ich : $\begin{eqnarray} e^{A}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(T^{-1}DT)^{k}}{k!} =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{T^{-1}D^{k}T}{k!} =T^{-1}(\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{D^{k}}{k!})T = T^{-1}e^{D}T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e^{D} =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} D^k = \frac{1}{0!}D^{0} + \frac{1}{1!}D +\frac{1}{2!} D^2+... =...=\begin{pmatrix} e^{\lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und ja das letzte soll eigentlich eine nxn Matrix sein mit $\begin{eqnarray} e^{\lambda_{i}} \end{eqnarray}$ auf der diagoanlen reicht das um zu sagen das $\begin{eqnarray} e^{A} \end{eqnarray}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ hat? Und eine Andere Aufgabe: Es sei A eine Banachalgebra mit 1. zeige zu jedem $\begin{eqnarray} y \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\| y-1 \|\| < 1 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e^{x}=y \end{eqnarray}$ . Wie fange ich denn hier an? Danke schonmal für eure Hilfe
18.11.2020, 21:53	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir keiner helfen? ` oder sagen ob es bis jetzt richtig ist? und mir sagen wie ich bei banachalgbra eiterkomme? danke schonmal
18.11.2020, 22:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme auf $\begin{eqnarray} e^B=e^\lambda \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In (ii) gehst du davon aus, dass A diagonalisierbar ist. Das muss aber auch über den komplexen Zahlen nicht der Fall sein. Tatsächlich kann man einfach $\begin{eqnarray} e^A \end{eqnarray}$ auf einen Eigenvektor anwenden.
18.11.2020, 23:03	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hab ich bei der Berechnung der Potenzen oben rechts also bei $\begin{eqnarray} a_{12} \end{eqnarray}$ falsch gemacht oder wie kommst du oben bei $\begin{eqnarray} a_{12} \end{eqnarray}$ auf die 1 :/ So hab mir das nochmal mit Matrizen Rechner ausrechnen lassen also die Potenzen der matrix B müssten eigentlich stimmen :/ dann versteh ich nicht wo der Fehler bei mir liegt... Zu der (II) wir haben doch n verschiedene eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{I} \end{eqnarray}$ i=1,..., n oder ncint? Und wegen denen ist es es doch doagonalisierbar...? Ich kenne $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ wobei X eigenvector, aber wir wissen ja ncint wie die hier aussehen im allgemeinen :/ um das dann bei $\begin{eqnarray} e^{A} x=e^{\lambda} x \end{eqnarray}$ anwednne zu können? Kannst mir vlt auch bei der operator Aufgabe helfen oder mir einen Ansatz geben :/?
18.11.2020, 23:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Potenzen von B sind schon richtig, deine Buchhaltung ist falsch. Du hast die Einheitsmatrix reingezogen und dabei fälschlicherweise den unteren Summationsindex auf 0 gesetzt. Dass das nicht stimmen kann, sieht man am $\begin{eqnarray} \lambda^{k-1} \end{eqnarray}$ das für k=0 problematisch werden kann. Wer sagt denn, dass die EW verschieden sind? Es ist völlig egal, wie der Eigenvektor aussieht, die Beziehung $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ reicht aus. Daraus folgt dann z.B. $\begin{eqnarray} A^kx=\lambda ^k x \end{eqnarray}$ . Ich erinnere mich dunkel, diese Operatoraufgabe mal gesehen zu haben. Momentan habe ich aber keine Ahnung mehr, wie das geht. Schreit ja irgendwie nach Neumannscher Reihe. Edit: Vielleicht geht es mit der Reihendarstellung des Logarithmus.
18.11.2020, 23:54	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So bis dahin war es ja richtig, die expoentialreihe fängt aber nun bei k=0 an, Einheitsmatrix klappt ja wie du gesagt hast nicht wegen $\begin{eqnarray} ^{k-1} \end{eqnarray}$ wie kommst du denn dann auf die expoentialreihe aus deinem Ergebnis? Stell mich grad glaub ich blöder an als ich bin :/ Und zur II also es wenn $\begin{eqnarray} /lambda \end{eqnarray}$ eigenwert zu A und x Eigenvektor dann gilt $\begin{eqnarray} Ax=/lambda x \end{eqnarray}$ , durch ersetzten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} e^{A} \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} e^{A} x=? x \leftrightarrow (e^{A} -?) x=0 \end{eqnarray}$ . ? Ist hier der unbekannte eigenwert. Kann man aus der ersten gleichung $\begin{eqnarray} Ax=/lambda x \end{eqnarray}$ folgern das dann? $\begin{eqnarray} e^{/lambda} \end{eqnarray}$ sein muss aber warum... Und mit dem Tipps mit logarithmusreihe probier ich morgen mal aus
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19.11.2020, 00:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben rechts steht doch $\begin{eqnarray} 0+\sum_{k=1}^\infty\frac{k\lambda ^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}=e^\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^Ax=\left(\sum \frac{1}{k!}A ^k\right) x=\sum \frac{1}{k!}\lambda ^k x=e^\lambda x \end{eqnarray}$
19.11.2020, 00:09	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah oh war ich doof... Schande über mich.. :/ hätte ich lieber später nochmal drüber nachdenken sollen als jetzt sk spät... Vielen Danke dir, hast mich gerettet :3

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