Kovarianzmatrix und Zufallsvariablen

22.11.2020, 22:13

DamianPi

Kovarianzmatrix und Zufallsvariablen

Hallo liebe Mathefreunde,

ich stehe bei folgender Aufgabe komplett auf dem Schlauch. Das Skript hilft mir nicht weiter.

Einleitung

Eine bivariat normalverteilte Zufallsvariable x = [X, Y]' ~ N(u, K) ist durch

u = Erwartungswert !
K = Summenzeichen !

den Erwartungswert u = [1,2]'

und die Kovarianzmatrix

K = | 1 0,5 |
| 0,5 4 |

gegeben.

Hab zwei grundlegende Verständigfragen:

Ist u = [1,2]' = [X,Y]' ????

Ist K = | 1 0,5 | = | Var(X) Cov(X,Y) | ???
| 0,5 4 | | Cov(Y,X) Var(Y) |

Desweiteren verstehe ich leider nicht wie u und E miteinander mathematisch zusammenhängen. Ich finde keine math. Rechenregel im Skript.

Die Kovarianzmatrix stellt anscheinend die Streuung der Verteilung dar.

Aufgabe 1:

Wie lautet die Randdichte o(x) der Zufallsvariable X ? Geben Sie Dichtefunktion explizit an und fertigen Sie eine Skizze.

Muss hier die Formel von Byes anwenden?

Aufgabe 2:

Eine neue Zufallsvariable z ist durch die lineare Transformation z = a + Bx mit a = [1] und B = [1,1] gegeben

Wie lautet die Verteilung dieser Variable? Geben Sie den Erwartungswert und die Kovarianzmatrix explizit an

Hier habe ich ein wenig mehr: Gegeben ist eine lineare Transformation, also gilt:

E[z] = a + E[X] + E[Y] = a + 1 + 2 = a + 3

Var(z) = Var(a+X+Y)

= Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov (X,Y)

= Var(X) + Var(Y) + 2 E(XY) - E(X) - E(Y)

= 1 + 4 + 2 E(XY) + 1 + 2 =

Ich weiß nicht, wie ich E(XY) ausrechnen soll.

z ist normalverteilt mit z ~ N(a+3, Var(z))

Aufgabe 3:

Prognostizieren Sie die Variable Y durch die Variable X. Welche funktionale Form hat die Prognosefunktion Y' = g(x)?

Im Skript hab ich den "Satz von der Normalkorrelation" Y' = E(Y|X) gefunden:

Y' = E(Y|X) = E(Y) + [Cov(X,Y) / Var(X)] (X - E(X))

= 2 + [E(XY) - E(X) - E(Y) / Var(X)] (X - E(X))

= 2 + [E(XY) - 1 - 2 / 1] (X - 1)

Gleiches Problem, ich weiß nicht wie ich E(XY) ausrechnen soll.

Aufgabe 4:

Berechnen Sie die Korrelationsmatrix von x = [X, Y]'

Ich weiß, dass die Formel für die Korrelation folgendermaßen lautet:

Für die Kovarianzmatrix finde ich folgende Matrize:

| Var(X) Cov(X,Y) |
| Cov(Y,X) Var(Y) |

Ich finde im Skript leider nichts vergleichbares für die Korrelationsmatrix.

Ich kenne nur noch aus der Statistik die Formel zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten:

korr p(X,Y) = [Cov(XY) / (Wurzel(Var(x) Wurzel(Var(x))]

Aufgabe 5:

Gegeben sind 6 unabhängige N(0,1)verteilte Zufallsvariablen

z1=0,985, z2=0,23 z3=-0,725 z4=0,448 z5=0,962 z6=-1,371

Berechnen Sie daraus 3 Zufallsvektoren x1,x2,x3 die aus N(u,K) stammen.

Hinweis: Berechnen Sie eine Matrix-Wurzel

Ich weiß, dass eine Matrix-Wurzel oder auch Quadratwurzel einer quadratischen Matrix eine Matrix ist, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangsmatrix ergibt

Hab aber keinen Schimmer wie ich aus den Zufallsvariablen nun 3 Zufallsvektoren mache, die aus N(u,K) stammen

Aufgabe 6:

Wie lautet die Datenmatrix X der 3 bivariaten Beobachtungen? Berechnen Sie den Mittelwert und die Stichproben-Kovarianzmatrix S sowie die Korrelationsmatrix R.

Wie lautet die verallgemeinerte und die totale Stichproben-Variant?

Hier brauch ich wohl das Ergebnis der Aufgabe 5

Würd mich sehr freuen, wenn jemand mir auf die Sprünge helfen könnte. Danke vorab.

P.S. Wie lange braucht man, um Latex zu lernen? :-) Gibt es hier noch einen Link im Forum, bin ganz neu hier. Würd mir versuchen Latex beizubringen, ist natürlich viel schöner...

22.11.2020, 22:16

HAL 9000

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Ich hab es schon mal angeregt, aber das Forum ist noch nicht so weit: Matheboard & Unicode (UTF-8)

Daher solltest du deinen Beitrag mal überarbeiten, damit die Formeln zumindest leidlich lesbar sind.

22.11.2020, 23:30

Dopap

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RE: Kovarianzmatrix und Zufallsvariablen

Zitat:

Original von DamianPi

P.S. Wie lange braucht man, um Latex zu lernen? :-) Gibt es hier noch einen Link im Forum, bin ganz neu hier. Würd mir versuchen Latex beizubringen, ist natürlich viel schöner...

10 Minuten!

Rechts unter Werkzeuge findest du den Formeleditor
Der deckt schon mal 90% ab.

Metazeichen sind:
Befehle fangen mit \ an.
{} sind unsichtbare Klammern.

Ansonsten geht jedes Argument 1 Zeichen weit.

code:
1:	[latex]\frac {2}{3}[/latex]

$\begin{eqnarray*} \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\frac 23[/latex]

$\begin{eqnarray*} \frac 23 \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\frac 23456[/latex]

$\begin{eqnarray*} \frac 23456 \end{eqnarray*}$

code:
1:	[l]\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}} [/l]

$\begin{eqnarray*} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}} \end{eqnarray*}$

Ansonsten kannst du jede Formel im Thread mit Zitat anschauen.

23.11.2020, 22:48

DamianPi

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RE: Kovarianzmatrix und Zufallsvariablen
Hallo liebe Mathefreunde,

so jetzt nun neu editiert und in Latex. Ich konnte leider nicht auf den Editierbutton klicken, hat immer auf die 15 Minuten Sperrzeit verwiesen, die sind aber seit gestern doch schon längst vorbei, deshalb nun über den Antwortbutton:

Aufgabeneinleitung

Eine bivariat normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} x= [X,Y]' \end{eqnarray*}$ ist durch
den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu = [1,2]' \end{eqnarray*}$

und die Kovarianzmatrix

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{vmatrix} 1 & 0,5 \\ 0,5 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben.

In der Zwischenzeit haben sich bereits ein paar Fragen geklärt. Folgende sind noch offen:

Aufgabe 5:

Gegeben sind 6 unabhängige N(0,1)verteilte Zufallsvariablen

z1=0,985, z2=0,23, z3=-0,725, z4=0,448, z5=0,962, z6=-1,371

Berechnen Sie daraus 3 Zufallsvektoren x1, x2, x3 die aus $\begin{eqnarray*} N(\mu, \Sigma) \end{eqnarray*}$
stammen.

Hinweis: Berechnen Sie eine Matrix-Wurzel $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Sigma = \Gamma\Gamma' \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \Gamma\Gamma' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{vmatrix} 1 & 0,5 \\ 0,5 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Gleichungssystem:

I. $\begin{eqnarray*} 1 = a² + b² \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} 1/2 = ac + bd \end{eqnarray*}$

III. $\begin{eqnarray*} 1/2 = ac + bd \end{eqnarray*}$

IV. $\begin{eqnarray*} 4 = c² + d² \end{eqnarray*}$

Setze a=1 daraus folgt die Matrixwurzel $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Gamma= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0,5 & \frac{\sqrt{15}}{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zufallsvektoren:

$\begin{eqnarray*} x1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0,5 & \frac{\sqrt{15}}{2} \end{vmatrix}\begin{pmatrix} 0,985 \\ 0,23 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,985 \\ 2,938 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0,5 & \frac{\sqrt{15}}{2} \end{vmatrix}\begin{pmatrix} -0,725 \\ 0,448 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,275 \\ 3,092 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0,5 & \frac{\sqrt{15}}{2} \end{vmatrix}\begin{pmatrix} 0,962 \\ -1,371 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,962 \\ -0,174 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 6:

Wie lautet die Datenmatrix X der 3 bivariaten Beobachtungen? Berechnen Sie den Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ und die Stichproben-Kovarianzmatrix S sowie die Korrelationsmatrix R.

Lösungsansatz:

Ich weß nicht wie ich die Datenmatrix X aus den 3 bivariaten Beobachtungen formen kann.

Mittelwert und Stichprobenvarianz kann mit Hilfe der Datenmatrix X : N x p laut Skript auch in der Form geschrieben werden:

- Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{N}X'1 \end{eqnarray*}$

- die Stichproben-Kovarianzmatrix S :

$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{N-1}X'HX \end{eqnarray*}$

mit Matrix $\begin{eqnarray*} H = I - \frac{1}{N} 11' : N x N \end{eqnarray*}$

- die Korrelationsmatrix ist laut Skript:

$\begin{eqnarray*} R = D^{-1}SD^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie lautet die verallgemeinerte und die totale Stichproben-Varianz?

Lösungsansatz:

- die verallgemeinerte Varianz ist laut Skript: det(S)

wenn ich S kenne, dann kann ich die Determinante bestimmen

- die totale Stichproben-Varianz ist laut Skript: tr(S)

kann mir nichts unter der totale Stichproben-Varianz vorstellen; steht auch nichts mehr im Skript zu

24.11.2020, 00:59

Dopap

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schon viel schöner.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =

code:
1:	[latex]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}[/latex]

{vmatrix} für Determinanten verwenden!

Indizes: $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\cdots,x_n \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/latex]

24.11.2020, 10:27

DamianPi

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Vielen Dank, versuche ich umzusetzen. Ich kann meinen Beitrag leider nicht mehr editieren... kann ihn mir jemand freischalten?

25.11.2020, 20:57

DamianPi

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Ich habe die Aufgabe mittlerweile gelöst.

Aber sicherlich werde ich mich zu einer anderen Aufgabe hier im Forum nochmal melden. Und dann mit Latex; auch wenn sicherlich noch kein Latexpro aus mir in der kurzen Zeit geworden ist. Dauert ganz schön lange, das in Latex hinzubekommen.

Eine simultane Vorschau bei der Eingabe in Latex wäre super

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