Untervektorraum zeigen

25.11.2020, 08:51

RazorShark

Untervektorraum zeigen

Meine Frage:
Guten Tag, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe und wollte fragen ob mein Ansatz/Lösung richtig ist. Sie kommt mir etwas komisch vor.
Die Aufgabe lautet:
Sei Abb(IR,IR) = {f:IR -> IR} der VR aller Abbildungen von IR nach IR.
Ist U = {f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V:f(2)=1} ein UVR von Abb(IR,IR)?

Meine Ideen:
Erstes eine Frage: Mit f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V ist vermutlich f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Abb(IR,IR) gemeint oder. Es steht nämlich nirgendwo wie V definiert ist. Dann beginne ich wie folgt:
1. Es existiert Abb. f:IR -> IR mit f(2) = 1, nämlich bsp. mit f:IR -> IR, x |-> (x/2)
=> U nicht leer
2. Seinen f,g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Abb(IR,IR)
Es gilt nach VL: (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 1+1 = 2. 2 ist aber kein Element von U => f+g kein Element von U.
=> U ist kein UVR von Abb(IR,IR).
Stimmt das so?
MFG

25.11.2020, 11:56

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von RazorShark
Es gilt nach VL: (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 1+1 = 2. 2 ist aber kein Element von U => f+g kein Element von U.

Die Begründung ist leider in Teilen falsch. Es ist - das stimmt in der Tat - (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 1+1 = 2 . Wegen $\begin{eqnarray*} (f+g)(2) \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist folglich f+g kein Element von U.

Wenn tatsächlich die Menge V nicht definiert wurde, solltest du den Aufgabensteller danach fragen.

25.11.2020, 12:55

RazorShark

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Okay, danke für die Antwort.
Also ist das Argument, warum dies kein UVR ist folgendes:
Da (f+g)(2) = 2 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 1 ist, gilt f+g kein Element von U.

Zu der Sache mit dem V: Das mein f aber aus Abb(IR,IR) ist, ist am logischsten oder? Dennoch werde ich mal nachfragen.

Und noch eine Frage:
Wenn ich nun sage, dass mein f aus Abb(IR,IR) ein Grupenhomomorphismus von (IR,+) -> (IR,+) ist, dann definiert das doch auch kein UVR von Abb(IR,IR), da f doch gar keine Multiplikation besitzt, welche für die 3. UVR-Eigenschaft mit a*f in U relevant ist, oder?

Ich danke Ihnen für ihre Hilfe. smile

25.11.2020, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von RazorShark
Zu der Sache mit dem V: Das mein f aber aus Abb(IR,IR) ist, ist am logischsten oder?

Würde ich auch so sehen.

Zitat:

Original von RazorShark
Wenn ich nun sage, dass mein f aus Abb(IR,IR) ein Grupenhomomorphismus von (IR,+) -> (IR,+) ist, dann definiert das doch auch kein UVR von Abb(IR,IR), da f doch gar keine Multiplikation besitzt, welche für die 3. UVR-Eigenschaft mit a*f in U relevant ist, oder?

Bei der 3. UVR-Eigenschaft geht es um die Multiplikation mit Skalaren und die kann man durchaus für Funktionen definieren: a*f wird definiert durch (a*f)(x) := a * f(x)

25.11.2020, 15:44

RazorShark

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Alles klar, dankeschön.
Also ist die Eigenschaft Gruppenhomo. zu sein ein Eigenschaft ist in die Irre zu führen bzgl. UVR, denn:
(a*f)(x) = a*f(x) wobei a aus IR und f aus Abb(IR,IR).

Danke für die Hilfe.

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