Methoden zur Grenzwertberechnung versagen

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30.11.2020, 11:53	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Methoden zur Grenzwertberechnung versagen Meine Frage: Liebes Forum, ich bin Physik-Student und im Rahmen meiner Forschung habe ich folgende recht komplizierte Funktion erhalten: $\begin{eqnarray} <br /> H(t)=-\frac{H_{0}}{\mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}+1}\bigg[<br /> \mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}\log\left(\frac{\Lambda \mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}}{\mathrm{e}^{2\Lambda\cdot \delta t}+2\mathrm{e}^{\Lambda\cdot\delta t}+1}\right)+<br /> \left(\mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}+1\right)\log\left(\mathrm{e}^{-\Lambda \cdot\delta t}\left(\mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}+1\right)\right)+\left(\Lambda \cdot\delta t-2\right)\mathrm{e}^{\Lambda\cdot \delta t}+\Lambda \cdot \delta t\bigg] \end{eqnarray}$ Dabei gilt für den Parameter folgender Wertebereich: $\begin{eqnarray} 0\leq\Lambda\leq1 \end{eqnarray}$ Ich habe nun berechnet, dass das Verhalten der Funktion sehr stark von der Wahl des Parameters abhängig ist. Für große Werte des Parameters existieren ein Maximum und ein Minimum. Für den vorgegebenen Wertebereich besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray} \dot H(t)=0 \end{eqnarray}$ nur komplexe Lösungen, wobei für mich nur die reellen Lösungen von Interesse sind. Somit hat diese Funktion keine Maxima und Minima. Des Weiteren habe ich berechnet, dass ein reeller (und zwei komplexe) Wendepunkte existieren. Die reelle Wendestelle liegt bei t_W=0, wobei H(t_W) auch vom Parameter abhängig ist. Durch weitere analytische Auswertungen und einem Computer-Plot habe ich gesehen, dass die Funktion eine Sigmoide ist und durch eine logistische Funktion approximiert werden kann, wobei der Fehler so gering ist, dass er vernachlässigt werden kann. Dieses Ergebnis passt auch sehr gut was man theoretisch erwartet hätte. Allerdings wollte ich gerne zeigen, wie sich die Funktion an den Rändern verhält. Das Supremum und das Infimum wollte ich nun einfach durch $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\pm\infty}H(t) \end{eqnarray}$ bestimmen. Allerdings ist das schwieriger als gedacht: Meine Ideen: Wenn man nun einfach einsetzt führt dies auf unbestimmte Ausdrücke. Meine erste Idee war L`Hospital, aber das ist etwas selbstzerstörerisch und führt durch die ganzen e-Funktionen logischerweise nie zum Ziel. Selbes Problem wenn man versucht es mit Taylor-Reihen zu machen. WolframAlpha konnte den Grenzwert auch nicht berechnen und hat nur gesagt "no results found in terms of standard mathematical functions"... Existiert überhaupt eine analytische Lösung? und wenn ja wie würde der Ansatz aussehen? Habe ich etwas simples übersehen? Wäre dankbar für jede Hilfe! Liebe Grüße Lukas (Für \delta t kann einfach t angenommen werden!)
30.11.2020, 13:34	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, habe mich gerade von dem sigmoiden Verlauf trügen lassen, denn die Funktion ist natürlich gar nicht im ganzen Bereich der reellen Zahlen definiert! Allerdings sieht es so aus, dass die Funktion sich dennoch einem Wert annähert... und dann abbricht... wie kann ich diesen Wert berechnen?
30.11.2020, 15:03	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methoden zur Grenzwertberechnung versagen Hi, also ich komme auf: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty } H(t) = H_0(2-\ln(\Lambda)) \end{eqnarray}$ Bevor ich das alles hier reinhacke, kannst du diesen Wert numerisch bestätigen? Viele Grüße, Nils
30.11.2020, 15:10	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich kann das numerisch bestätigen! Die Gleichung ist richtig! Super. Bin gespannt auf die Vorgehensweise!
30.11.2020, 15:44	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön! Also dann: Zunächst führe ich die folgende Abkürzung ein: $\begin{eqnarray} x:=e^{\Lambda \delta t} \end{eqnarray}$ Damit lautet - mit kleinen Umformungen - die Ausgangsgleichung: $\begin{eqnarray} H(t) = - H_0\left[\frac{x}{x+1}\ln\left(\frac{\Lambda x}{(x+1)^2} \right) +\ln\left(1+\frac{1}{x} \right) + (\Lambda\delta t-2)\frac{x}{x+1} + \frac{\Lambda\delta t}{x+1} \right] \end{eqnarray}$ Schauen wir uns die einzelnen Terme in der Klammer an. Dann gilt: - der Bruch x/(x+1) geht im ersten und im dritten Term gegen 1 - im ersten Term geht das Argument der ln-Funktion gegen $\begin{eqnarray} \ln(\Lambda/x) \end{eqnarray}$ - der zweite Term geht gegen Null - der letzte Term geht ebenfalls gegen Null, der Zahler nur linear mit t wächst, der Nenner aber exponentiell Für sehr große t bzw. große x folgt also: $\begin{eqnarray} H(t) &\approx& - H_0\left[\ln\left(\frac{\Lambda }{x} \right) + \Lambda\delta t-2 \right]\\&=& -H_0\left[\ln(\Lambda) - \ln(x) + \Lambda\delta t-2 ) \right]\\&=& -H_0\left[\ln(\Lambda) - \Lambda\delta t + \Lambda\delta t-2 ) \right]\\&=&H_0\left(2-\ln(\Lambda) \right) \end{eqnarray}$ Viele Grüße, Nils
30.11.2020, 16:05	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ist ja gar nicht so schwer... manchmal hat man halt eine Blockade! Mir ist nebenbei auch noch ein anderer Lösungsweg eingefallen, da H(t) als eine Art differentielle Entropie berechnet wurde, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte eine logistische Verteilung war: Man hätte nur ein uneigentliches Integral bilden müssen und die Lösung, die in vielen Stochastik-Büchern steht, ist identisch mit Deiner! Also danke nochmal!
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30.11.2020, 16:52	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe alles nochmal nachgerechnet... Wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray} \frac{\Lambda x}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{\Lambda}{x} \end{eqnarray}$ konvergiert ? Die quadratische Funktion wächst viel schneller als die lineare Funktion für große t, somit würde der Term gegen Null konvergieren... oder stehe ich wieder auf dem Schlauch
30.11.2020, 17:22	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder soll man das wie folgt verstehen, dass $\begin{eqnarray} \frac{\Lambda x}{x^2+2x+1}=\frac{x}{x}\left(\frac{\Lambda}{x+2+\frac{1}{x}}\right) \end{eqnarray}$ Dabei ist dann $\begin{eqnarray} x+2\approx x \end{eqnarray}$ für große x und die Nullfolge konvergiert dann gegen 0?
30.11.2020, 17:51	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, x/(x+1)² nähert sich asymptotisch 1/x, da man für große x die 1 gegenüber x vernachlässigen kann. Den Grenzwert für x gegen unendlich bilde ich an dieser Stelle noch nicht. Viele Grüße, Nils

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