Verteilungsfunktion und Parameter einer ZV bestimmen

Neue Frage »

08.12.2020, 09:55

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Verteilungsfunktion und Parameter einer ZV bestimmen

[attach]52253[/attach]

08.12.2020, 10:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ . Bei intervallweise gegebenen Dichten $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ arbeitet man sich auch entsprechend dieser Intervalle schrittweise vor, und zwar (was die x-Achse betrifft) von links nach rechts:

1) $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ : Da ist $\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^x 0 ~ \dd t = 0 \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$ : Hier haben wir $\begin{eqnarray*} F_X(x) = F_X(0) + \int\limits_0^x f_X(t) ~ \dd t = 0 + \int\limits_0^x \frac{t}{8} ~ \dd t = \left[ \frac{t^2}{16}\right]_{t=0}^x = \frac{x^2}{16} \end{eqnarray*}$ , insbesondere bedeutet das $\begin{eqnarray*} F_X(4)=1 \end{eqnarray*}$ .

3) $\begin{eqnarray*} x\geq 4 \end{eqnarray*}$ : Schlussendlich ist hier $\begin{eqnarray*} F_X(x) = F_X(4) + \int\limits_4^x f_X(t) ~ \dd t = 1 + \int\limits_4^x 0 ~ \dd t = 1 \end{eqnarray*}$ .

b) Es ist $\begin{eqnarray*} E\left(X^k\right) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ . (EDIT: Sorry, hier hatte ich bei der unteren Grenze das - vergessen.)

Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ist das der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ selbst, für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ , was als Hilfsgröße in Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ eingeht.

Und es ist $\begin{eqnarray*} P(2\leq X\leq 3) = P(X\leq 3)-P(X<2) = F_X(3)-F_X(2) \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig verteilt ist und somit $\begin{eqnarray*} P(X<2)=P(X\leq 2) \end{eqnarray*}$ ist.

c) Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} E(a)=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(aX) = aE(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X+Y) = E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$ .

Über die Definition $\begin{eqnarray*} V(X)=E\left((X-E(X))^2\right) \end{eqnarray*}$ bekommt man mit diesen eben genannten Eigenschaften zudem

$\begin{eqnarray*} V(aX)=E\left((aX-E(aX))^2\right)=E\left((aX-aE(X))^2\right)=E\left(a^2(X-E(X))^2\right) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X+a)=E\left((X+a-E(X+a))^2\right)=E\left((X+a-E(X)-a)^2\right)=E\left((X-E(X))^2\right) = V(X) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Hinsichtlich "und Parameter einer ZV bestimmen" wäre zu bemerken: Da hast du wohl den Begleittext einer anderen Aufgabe abgeschrieben...

08.12.2020, 10:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ MarryK

HAL hat jetzt die von dir hereingestellte Aufgabe mehr oder weniger gelöst. Aber was ist überhaupt deine Frage? Vielleicht willst du ja wissen, wann der Halleysche Komet das nächste Mal in Erdnähe ist. Nun, diese Frage kann man beantworten: Das wird im Jahr 2061 sein (Quelle: Wikipedia).

08.12.2020, 10:46

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Ausführungen!!

Ich verstehe die Schreibweise der beiden Funktionen noch nicht. unglücklich

Der Strich unter dem x bedeutet, das dieses stetig ist?
Wie genau kann ich mit den genannten Angaben das Integral berechnen geschockt

08.12.2020, 10:53

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

good one

Ohh man, das stimmt. Hätte mal erklären können, wo meine Frage liegt. Sorry geschockt

Ich verstehe nicht, wie ich die Angaben aus der Aufgabe in der Integralrechnung verwenden kann.

08.12.2020, 11:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MarryK
Der Strich unter dem x bedeutet, das dieses stetig ist?

"Strich unter dem x" ??? Erstaunt1

Kann es sein, dass du den Bruchstrich (!) im Teilterm $\begin{eqnarray*} \frac{x}{8} \end{eqnarray*}$ irgendwie in abenteuerlicher Weise interpretierst?

08.12.2020, 11:09

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist es, ein Bruchstrich. Sorry. Hammer

08.12.2020, 11:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe zu, das Schriftbild oben im Scan sieht an der Stelle unschön aus. Vielleicht sollten die Autoren auch auch LaTeX umsteigen. Augenzwinkern

08.12.2020, 11:13

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, das muss grad echt unterhaltsam sein, für euch Mathe-Fachleute. Ich habe wohl einfach zu viel Phantasie... Big Laugh

08.12.2020, 11:18

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, makes me feel better. smile

Kannst du mir bei der b) nochmal helfen, wie genau kann ich jetzt die Angaben aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion verwenden, um den Erwartungswert und die Varianz zu berechnen?

\int_{0}^{4} \! f(x) \, dx ? Also das Integral von 0 bis 4 bilden verwirrt

08.12.2020, 11:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir nichts draus: Beim Schriftbild so mancher hier gestellten Anfrage bin ich auch schon auf irrlichternde Interpretationen gekommen. smile

08.12.2020, 11:26

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

xi 0 1 2 3 4
________________________________

pi 0 1/8 1/4 3/8 1/2

Dann ist das die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV X?

08.12.2020, 11:33

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach sooo, na klar. F(x)' ist gleich f(x) daher die Erklärung zu Aufgabenteil a) Wie in der Analysis. Eine Stammfunktion bilden geschockt

08.12.2020, 11:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt angegeben die Dichtewerte $\begin{eqnarray*} f_X(x) \end{eqnarray*}$ an den vier Stellen $\begin{eqnarray*} x=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ . Die Werte sind soweit richtig, aber sie allein beschreiben nicht in Gänze die Dichte - das ist hier bei dieser stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ anders als bei diskreten Zufallsgrößen. Insofern muss man die Einschätzung

Zitat:

Original von MarryK
Dann ist das die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV X?

klar verneinen.

08.12.2020, 11:35

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja verstehe, ich beachte also den Bereich unterhalb von 0 und überhalb von 4 nicht. Also die Unendlichkeiten? verwirrt

08.12.2020, 11:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mir ging es eher darum, dass man die auf $\begin{eqnarray*} [0,4] \end{eqnarray*}$ stetige Verteilung nicht auf ein paar einzelne in diesem Intervall liegende Punkte reduzieren kann. Z.B. wird $\begin{eqnarray*} P\left(2.1\leq X\leq 2.7\right) = 0.18 \end{eqnarray*}$ in keinster Weise von diesen nur diskret angegebenen Dichtewerten erfasst, sondern erst durch die gesamte Intervalldichte.

08.12.2020, 11:50

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MarryK
Ach sooo, na klar. F(x)' ist gleich f(x) daher die Erklärung zu Aufgabenteil a) Wie in der Analysis. Eine Stammfunktion bilden geschockt

Wie ist deine Meinung dazu?

08.12.2020, 11:54

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte hilf mir...

Wie komme ich bei b) konkret auf

E(X)= 2,67 V(X)=0,89 und P(2,3) =31,25%

Ich verzweifle Gott

08.12.2020, 11:55

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Und darüber hinaus bei c) auf

E(Y)=3,33 und V(Y)=3,56?

Ich weiß die Zahlen einfach nicht richtig einzusetzen... unglücklich

08.12.2020, 12:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn in der Richtung versucht? Ich hatte zu b) angegeben:

Zitat:

Original von HAL 9000
b) Es ist $\begin{eqnarray*} E\left(X^k\right) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ist das der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ selbst, für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ , was als Hilfsgröße in Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ eingeht.

Und es ist $\begin{eqnarray*} P(2\leq X\leq 3) = P(X\leq 3)-P(X<2) = F_X(3)-F_X(2) \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig verteilt ist und somit $\begin{eqnarray*} P(X<2)=P(X\leq 2) \end{eqnarray*}$ ist.

Konkret: $\begin{eqnarray*} E\left(X\right) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_0^4 x\cdot \frac{x}{8} ~ \dd x = \int\limits_0^4 \frac{x^2}{8} ~ \dd x = \left[ \frac{x^3}{24}\right]_{x=0}^4 = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Also einsetzen und losrechnen, bei der Varianz dann (wie oben skizziert) auch.

Wenn du dir aber die Antworten komplett links liegen lässt und stattdessen von neuem fragst, als hätte ich bislang nicht geantwortet, dann ist diese Ignoranz schon etwas ärgerlich.

08.12.2020, 12:41

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, dass du den Eindruck erhalten hast, ich hätte deine bisherige Hilfe nicht beachtet. Ich bin dankbar um jeden Hinweis, das kannst du mir glauben. Ich hab mich den ganzen Vormittag mit dieser Aufgabe beschäftigt und kam nicht auf die Ergebnisse, das hat mich echt frustriert. DANKE für deine Hilfe. Ihr macht einen tollen Job, gerade in Zeiten von Homeschooling/studying.

08.12.2020, 17:35

MarryK

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's jetzt raus. Vielen Dank.

Neue Frage »

Antworten »

Verteilungsfunktion und Parameter einer ZV bestimmen

Verwandte Themen