Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts

27.12.2020, 11:28

Leo___

Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts

Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich sitze nun schon länger an einer Aufgabe für die Uni und komme nicht weiter.

Man soll darin zeigen, dass eine monoton steigende Funktion f : (a, b)->R in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs rechts- und linksseitige Grenzwerte besitzt.

Anschaulich überlegt, ergibt diese Aussage für mich Sinn, nur am Beweis scheitere ich.

Meine Ideen:
Hier meine Ansätze:

Aus Monotonie folgt ja bekanntlich nicht unbedingt Stetigkeit (die Funktion kann ja auch "Sprünge" machen), daher kann ich nicht mit der Stetigkeit argumentieren.

Außerdem ist Monotones Wachstum so definiert: x,y Element (a,b), x<y => f(x) kleiner gleich f(y)

Weiterhin habe ich mir die Definition des rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerts angesehen:
f hat genau dann einen rechtsseitigen Grenzwert y bei x0 Element R, wenn x0 ein Häufungspunkt der Menge (a,b) geschnitten mit (x0,?) ist und mit dieser Einschränkung mit besagter Menge -> R gilt, dass die Annäherung von rechts an x0 y liefert.

Wegen des Stichwortes "Häufungspunkt" habe ich mir überlegt, das Ganze mithilfe konvergenter Folgen bzw. Teilfolgen zu beweisen, ich kam jedoch nicht weit...

Ich bitte also hiermit dringend um Hilfe und mögliche Lösungsansätze!

Vielen Dank im Voraus!

27.12.2020, 12:51

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Ich gebe dir einen Hinweis für den Fall des linksseitigen Grenzwertes einer monoton wachsenden Funktion.
Wähle $\begin{eqnarray*} x_0\in(a,b) \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} s=\sup\{f(x):x<x_0\} \end{eqnarray*}$

27.12.2020, 23:19

Leo__

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Danke für den schnellen Hinweis... ich bin jedoch damit leider nicht viel weiter gekommen.

Ich hätte mir nun eine monoton steigende Folge xn angesehen, die gegen x0 konvergiert mit x0 Element (a,b). Damit wollte ich zeigen, dass dann f(xn) auch konvergiert... Muss ich hier die Monotonie von f anwenden? Und bringst du hier das Supremum mit in die Argumentation?

Meine Idee wäre danach gewesen, dass auch für alle weiteren Folgen yn -> x0 die Funktion f(yn) den gleichen Grenzwert hat. Wie soll ich das aber zeigen?

Außerdem haben beliebige konvergente Teilfolgen ja immer eine monotone Teilfolge, für die dann auch f(xn) den gleichen Grenzwert haben sollte.

Damit wäre dann doch die Existenz des linksseitigen Grenzwertes bewiesen, oder nicht?

Analog wäre ich mithilfe einer monoton fallenden Folge für den rechtsseitigen Grenzwert vorgegangen.

27.12.2020, 23:42

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Benutzt man das Supremum, kann man ohne Folgen auskommen sondern stützt sich auf die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Definition des (linksseitigen) Grenzwertes.
Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_1<x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s-\varepsilon < f(x_1) <s \end{eqnarray*}$ . Und jetzt kann man mit der Monotonie leicht begründen, dass der linksseitige Grenzwert existiert.

Mit Folgen wird das ganze aufwendiger, grundsätzlich scheinst du aber auf der richtigen Spur zu sein:
$\begin{eqnarray*} x_n \to x_0 \end{eqnarray*}$ von links hat eine montone Teilfolge. Deren Bildfolge ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen ihr Supremum. Jetzt zeigt man mit der Monotonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass die ganze Folge $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen das Supremum konvergiert. Schließlich fehlt noch der Nachweis, dass der Grenzwert unabhängig von der gewählten Folge ist. Das geht über Folgenmischung.

03.01.2021, 22:10

Leo__

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Vielen Dank! Entschuldigung für die späte Rückmeldung, über Neujahr war bei mir Uni-Pause angesagt...

Mit den Folgen habe ich es jetzt tatsächlich hinbekommen, aber wie genau man es mit der epsilon-delta- Definition genau machen soll, ist mir noch nicht klar.

Könntest du das evtl. einmal ausführlich darstellen?

LG

03.01.2021, 22:19

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
An welchem Teil von

Zitat:

Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_1<x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s-\varepsilon<f(x_1)<s \end{eqnarray*}$ . Und jetzt kann man mit der Monotonie leicht begründen, dass der linksseitige Grenzwert existiert.

hängt es denn?

03.01.2021, 23:02

Leo__

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Die Existenz des Supremums habe ich erfolgreich bewiesen (falls das überhaupt nötig war...)

Dann gibt es also ein beliebig kleines epsilon, sodass f(x1) im Epsilonbereich um das Supremum liegt für ein beliebiges x1<x0... Das verstehe ich.
Wie hilft mir das aber für die allgemeine Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwertes für jedes x im Definitionsbereich weiter? Und wie soll man mit der Monotonie dann die Existenz des linksseitigen Grenzwertes allgemein begründen?

Mir ist der Zusammenhang zwischen den Grenzwerten und dem Supremum bzw. Infimum noch nicht ganz klar...

04.01.2021, 00:06

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts

Zitat:

Original von Leo__
Dann gibt es also ein beliebig kleines epsilon, sodass f(x1) im Epsilonbereich um das Supremum liegt für ein beliebiges x1<x0... Das verstehe ich.

Das ist aber so falsch.
Richtig ist folgendes: Für beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s-\varepsilon \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke der Menge $\begin{eqnarray*} \{f(x):x<x_0\} \end{eqnarray*}$ mehr. Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_1 < x_0 \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} f(x_1) > s-\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.
Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1<x<x_0 \end{eqnarray*}$ ist wegen der Monotonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann aber auch
$\begin{eqnarray*} s-\varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq s \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} s=\lim_{x\to x_o-}f(x) \end{eqnarray*}$ heißt doch folgendes: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} s-\varepsilon\leq f(x) \leq s+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0-\delta < x < x_0 \end{eqnarray*}$ .

Bekommst du es jetzt zusammen?

04.01.2021, 11:55

Leo__

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Achsoo, na klar... dann hatte ich das epsilon-Kriterium in dem Zusammenhang irgendwie falsch verstanden...

Deine Ausführungen ergeben jetzt Sinn... aber zeige ich so nicht nur, dass ein linksseitiger Grenzwert für das Supremum existiert?

04.01.2021, 12:23

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Ja, wie ich eingangs schon sagte

Zitat:

Ich gebe dir einen Hinweis für den Fall des linksseitigen Grenzwertes einer monoton wachsenden Funktion.

Die Argumentation für den rechtsseitigen Grenzwert bei monoton wachsender Funktion ist ganz analog. Für monoton fallende Funktion kann man das dann nochmal machen. Diese Übung sorgt für Sicherheit im Umgang mit den Begriffen und Definitionen.

Man kann diese drei fehlenden Fälle aber auch auf den schon gezeigten zurückführen. Diese Übung schult das Nachdenken smile

04.01.2021, 12:46

Leo__

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RE: Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts
Okay, vielen Dank auf jeden Fall... ich denke, ich habe es jetzt verstanden. Ich versuche jetzt mal, das auszuformulieren Augenzwinkern

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Eigenschaft monotoner Funktionen: Existenz des rechts- und linksseitigen Grenzwerts

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