Räumliche Fläche in Parameterdarstellung

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Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »
Räumliche Fläche in Parameterdarstellung
Liebes Forum,

es geht un folgende Aufgabe:

'' Gegeben ist die räumliche Fläche in Paramterdarstellung''

r= ( u * cos(v) ) Mit 0 < u < 1
( u * sin(v) ) Und 0 < v < 2*pi
( u * v )

Bestimmen Sie:

a.) Den Flächeninhalt und
b.) Das Oberflächenintegral der Funktion f(x,y,z) = x^2+y^2''

Die Lösung für die Fläche A = 11.2 , jedoch komm ich mit meiner Rechung nicht auf dieses Ergebniss.

So nun zu meiner Frage b.z.w meinem Problem:

Es handelt sich ja zunächst um eine Fläche im Raum undzwar der allgemeine Fall. Daher sollte die Fläche doch eigentlich nach:

F= Integral über den Bereich B aus dem Betrag des Normelnverktors d(v,u) berrechen können. Wo durch ich nicht aus die Lösung gekommen bin. Der genaue Ansatz ist auf der S. 150 im Binomi enthalten.

Hoffe ihr habt eine Idee dazu.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dieses Ergebnis kommt heraus, wenn man die Formel deiner Formelsammlung anwendet. Zu integrieren ist . Wer den Integralwert gerne als exakten Ausdruck hat:

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Räumliche Fläche in Parameterdarstellung
Kann das sein, daß Du gemeint hast:
Zitat:
verbessertes Original von Student1011
'' Gegeben ist die räumliche Fläche in Paramterdarstellung''



Bestimmen Sie:

a.) Den Flächeninhalt und
b.) Das Oberflächenintegral der Funktion f(x,y,z) = x^2+y^2''

Dann ist zumindest zu b zu sagen:
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zu integrieren ist .

@Leopold
So lernt man nichts! Interessant wäre es doch hier zu begreifen, wie man darauf kommt. Ich habe auf Wiki zum Thema Oberflächenintegral nachgeschaut und bin beim Begriff skalares Oberfächenelement fündig geworden:



Um das dieser Aufgabe anzupassen, sollte man vielleicht lieber

schreiben. Dabei stehen und für die partiellen Ableitungen von nach und .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, lieber Ulrich, daß du noch einmal bei Wikipedia gefunden hast, was bereits in der Formelsammlung von Student1011 steht. Du bestätigst damit, was ich bereits gesagt habe:

Zitat:
Original von Leopold
Genau dieses Ergebnis kommt heraus, wenn man die Formel deiner Formelsammlung anwendet.


Und dadurch wird es erst richtig richtig. Ich weiß deinen Einsatz zu schätzen. Vielen herzlichen Dank dafür! Auch im Namen von Student1011.
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »
Räumliche Fläche in Parameterdarstellung
Vielen Dank für eure hilfreichen und netten Antworten. Also zum Ablauf, und korrigiert mich wenn ich falsch liege.

* Für die berrechnung benötig man ja zuerst das skalare Flächenelemente dF.

* Ich integriere also über zwei Integrale. Wenn man nach dem Binomi (Formmelsammlung) geht über denn Bereich B. Das Doppelintegral besitzt dabei feste Grenzen.

* Und im Prinzip muss ich dann über das Kreuzprodukt aus meinen partiellen Ableitungen integrieren richtig ?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Den zweiten Punkt verstehe ich nicht. Was willst du damit sagen? Und wer ist Bino? Dein Hund? (Heißen die nicht Dino?)

Wie es in deiner Formelsammlung steht und es Ulrich Ruhnau noch einmal aufgeschrieben hat, mußt du



berechnen (in deiner Formelsammlung steht statt ).

ist hier der Bereich der mit und . Und zur Kontrolle für deine Rechnung:

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Räumliche Fläche in Parameterdarstellung
@Student bitte einmal ausfüllen!







Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Räumliche Fläche in Parameterdarstellung
@Student
Ein bißchen Latex hat noch niemandem geschadet. Am besten Taste zitat. anklicken und mit Copy & Paste kopieren und verändern.
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank an euch beiden. Besondern an Leopold, der mit durch seine Antwort ein lächeln, ins doch verbitterte Gesicht zaubern konnte.

Ich habe die Aufgabe lösen können. Soweit so gut. Jedoch kann ich nicht verstehen wieso sich das Ergebniss ändert wenn man die Reihenfolge der Integrationen vertauscht. Normalerweise sollte es doch bei festen Grenzen egal sein welches Integral man zu erst löst.

Ferner, kann ich es ich es zwar rechnen, jedoch nicht nachvollziehen wieso wir ausgerrechnet die partiellen Ableitung des jeweiligen Vektors in beide Richtungen benötigen.


@Ulrich, ich bin noch dabei die Latex Sprache mir anzueignen. Das wird noch, habe vertrauen mich Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weil der Integrand von der Gestalt



ist, kann man sogar



rechnen. Und natürlich spielt die Reihenfolge der Integrationen, wie auch sonst, keine Rolle. Wenn da bei dir etwas anderes herauskommt, hast du also irgendwo einen Rechenfehler drin.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student1011
Ferner, kann ich es ich es zwar rechnen, jedoch nicht nachvollziehen wieso wir ausgerrechnet die partiellen Ableitung des jeweiligen Vektors in beide Richtungen benötigen.


Das ist "Infintesimalgeometrie", in der du über Flächenelemente aufsummierst (bzw. im Limes integrierst).
Die Fläche wird in der elementaren Vektorgeometrie schon als Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren verstanden, mit resultierendem Normalenvektor auf der Fläche und Betrag des Flächeninhalts.
Die "Geometrie" steckst du hier in die Parametrisierung eines Koordinatensystems, das der Geometrie angepasst ist. In dieser wird die Fläche allgemein zweifach parametrisiert (also zwei unabhängige Parametervariablen). Die partiellen Ableitungen sind hierbei die Tangenten an deinen Flächenkoordinaten. Der Betrag dieses Vektorprodukts bildet mit den Differentialen der Parameter dein Flächenelement. Über diese Flächenelemente musst du dann integrieren. Formal hast du also Doppelintegrale. Hast du auf diesen Flächen noch skalare oder vektorielle Funktionen definiert, dann erhältst du Flächenintegrale erster bzw. zweiter Art.
Wenn sich die Parametrisierung separieren lässt, dann lassen sich das auch die Doppelintegrale. Du erhältst dann i.a. ein Produkt von einfachen Integralen.
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