Ähnlichkeit von Dreiecken

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Franz3.1415 Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit von Dreiecken
Meine Frage:
Sei ABC ein Dreieck und L, M und N die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den gegenüberliegenden Seiten (also liegt L gegenüber von A, M gegenüber von B und N gegenüber von C). S sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Sei weiter P der Schnittpunkt von LN mit der Winkelhalbierenden durch B. Außerdem sei der Innenwinkel des Dreiecks bei C 120° groß.

Zeige nun, dass CMS und NPS ähnlich sind!

Meine Ideen:
Man sieht relativ schnell, dass ein Winkel in beiden Dreiecken CMS und NPS gleich (Scheitelwinkelsatz). Dann müsste man entweder noch zeigen, dass ein weiterer Winkel gleich ist (ist vielleicht nicht verkehrt, weil es ja eine Bedeutung haben muss, dass der Innenwinkel bei C 120° ist) oder man muss zeigen, dass entsprechende Seitenverhältnisse passen. Darauf habe ich mich bisher fokussiert und verwendet, dass eine Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten schneidet. Damit bin ich aber nicht wirklich weit gekommen. Leider habe ich bisher keine gute andere Idee, wie ich die Aufgabe angehen könnte und weiß nicht, wie ich das mit dem Winkel machen könnte. Ich freue mich über jede Hilfe! Schon mal vielen Dank!!!
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeit von Dreiecken
Hallo, leider habe ich Deinen Thread erst vor zwei Tagen gesehen, und dann habe ich eine Zeitlang gebraucht, um meine bescheidenen Erkenntnisse in eine Skizze zu packen.
Die Lösung habe ich auch (noch?) nicht, aber vielleicht finden andere den letzten Schritt.

Eine Überprüfung mit einem CAD-System ergibt, dass die zwei besagten Dreiecke tatsächlich ähnlich sind. Der Grund ist, dass das Dreieck SPL gleichschenklig ist (der grüne Winkel ist 30°) und daher der violett markierte Winkel 60° sein muss - nur herleiten kann ich diese Tatsache nicht.

Alle sonst eingezeichneten Winkel sind leicht zu bestimmen.



Woraus ich gefolgert habe.

[attach]52450[/attach]

EDIT: Zeichnung korrigiert. Danke, HAL_9000!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst eine kleine Korrektur deiner Winkelbeschriftungen in der Skizze: Richtig ist statt .


Betrachte nun das Dreieck :

Dann ist Schnittpunkt sowohl der Innenwinkelhalbierenden von als auch der Halbierenden des Außenwinkels bei (wegen ). Somit ist Mittelpunkt desjenigen Ankreises von , der die Seite berührt. Als solcher liegt er aber auch auf der Winkelhalbierenden des Außenwinkels bei , mit anderen Worten: ist Winkelhalbierende von ! Zusammen mit dem dir bekannten dürftest du damit deinen Beweis komplettieren können.


EDIT: Ich hoffe einfach mal, dass der korrigierte Winkelwert nicht die einzige nützliche Information war, die mein Beitrag enthalten hat. verwirrt
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
EDIT: Ich hoffe einfach mal, dass der korrigierte Winkelwert nicht die einzige nützliche Information war, die mein Beitrag enthalten hat. verwirrt

So ist es.
Mir ist die Frage mithilfe Deines Beitrags klar; aber darauf kommt es - in erster Linie - ja nicht an. Mein EDIT hast Du ja gelesen.

Sorry wenn Du auf eine direkte Anwort von mir gewartet hast, aber in solchen Fällen richte ich mich danach, dass der Fragesteller es verstehen muss, und ob dem so ist, muss er schon selber sagen.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich jetzt die Chance, dass der Fragesteller hier nochmal aufkreuzt, auf nahe bei Null einschätze, möchte ich darlegen, wie ich HAL_9000s Beitrag verstehe.
Eine zusätzliche Zeichnung soll das illustrieren bzw als Grundlage für weitere Erklärungen dienen.

[attach]52498[/attach]

Punkt liegt einerseits auf der Winkelsymmetralen des Winkels BAC, andererseits auf der Winkelsymmetralen des Winkels, den Strecke NC mit der über hinaus verlängerten Seite AC bildet.
Ein Kreis mit dem geeigneten Radius (=Lotabstand L von z.B. AB) berührt Seite AB in , Seite NC in und die verlängerte Seite AC in .
Aus der Tatsache, dass die Punkte und Berührpunkte bezüglich des grünen Kreises sind, kann man schließen, dass Punkt auch in der Winkelsymmetrale des Winkels BNC liegt. Das bedeutet, dass Strecke NL in dieser Winkelsymmetrale liegt.

Damit kann man alle Winkel des Dreiecks NPS bestimmen.

Winkel CNA ist , dann muss Winkel PNS sein. Daraus folgt für Winkel SPN , und man sieht, dass die in Frage stehenden Dreiecke

Zitat:
Original von Franz3.1415
Zeige nun, dass CMS und NPS ähnlich sind!

die gleichen Winkel besitzen und daher ähnlich sind.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Insgesamt eine schöne Aufgabe, leider scheint Franz3.1415 ja wirklich nicht mehr aufzutauchen.

Ich nehme auch an, dass die Aufgabe wohl eher nicht dem normalen Schulunterricht entstammt. Wäre ehrlich überrascht, wenn sowas wie "Ankreise" noch irgendwo in der Schulgeometrie besprochen werden, vermutlich doch nur der Inkreis (wenn nicht auch schon der hinten runter gefallen ist).
 
 
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