Konstante Funktionen bilden Komplement des Kerns der Linearform

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Matt_ler Auf diesen Beitrag antworten »
Konstante Funktionen bilden Komplement des Kerns der Linearform
Meine Frage:
Sei a<b, ist eine Linearform auf
Beweise, die auf I konstanten Funktionen bilden ein Komplement des Kerns dieser Linearform

Meine Ideen:
ich weiß bereits das der ker() eine Hyperebene ist und, wenn F:={f|f ist auf I konstant}, dim(F)= 1 ist, als basis habe ich die Funktion gewählt welche alle x auf 1 abbildet. Ich möchte nun zeigen das die konstaten Funktionen ein Komplement des Kerns sind, dazu habe ich bereits gezeigt das der Schnitt nur der Nullvektor, also die Nullabbildung ist. Es fehlt also noch: = ker() + F . Leider weiß ich nicht so recht wie ich das anstellen soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um suggestive Bezeichnungen der allgemeinen Vektorraumtheorie zur Verfügung zu haben, schreibe ich einmal

mit

Für die Linearform nehme ich den Bezeichner und verwende die Operatorschreibweise:



Jetzt der Kern:



Und die konstanten Funktionen:



Zu zeigen ist:



hast du nach eigenen Angaben erledigt. Bleibt noch . Ich habe es zuerst so versucht:

Gegeben . Gesucht: mit

ist eine Konstante. Es liegt daher nahe, folgenden Ansatz zu probieren. Für setzt man:



Hier ist klar, auch. Als ich jedoch nachgerechnet habe, hat das nicht gestimmt. Aber eine kleine Korrektur hat dann zum Erfolg geführt. Findest du diese?
Matt_ler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, erstmal danke für deine Hilfe.
An diesen Ansatz hab ich noch gar nicht gedacht, wollte mir die Funktion vorstellen und das war irgendwie sehr schwierig.

Nun ja zu dem Beweis, ich setze mal ganz unten an.

gilt

Es muss nun Lu=0 sein, also =0

Nach obigem gilt:
==
-

Bezeichnen mit S die Stammfunktion von v, also S=

=>0=-=S(b)-S(a)-c*(b-a)
=> wählen wir w(x) oben sodass w(x)=

so gilt:
Lu==

=> und
=>U Komplement von W
QED

Was sagst du dazu?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf minimale, wirklich minimale, Unsauberkeiten ist deine Lösung korrekt. Du hast dem eine andere Bedeutung gegeben als ich. Man kann das so machen wie du. Ich hätte die Bedeutung von gelassen: . Dann hätte ich



gesetzt. ist wieder klar. Ferner gilt:



Und jetzt paßt es:



Was meine ich mit minimalen Unsauberkeiten?

Zitat:
Original von Matt_ler


Hier fehlt eine Klammer um den Integranden. Ich weiß, die Physiker halten so etwas für überflüssig und werden sich da nie eines Besseren besinnen (obwohl sie natürlich im Differentialkalkül, etwa bei der Substitutionsregel für Integrale, auf einmal den unsichtbaren Malpunkt vor dem Differential bemerken).

Zitat:
Original von Matt_ler
=> und
=>U Komplement von W


Irgendwie komisch. Das eingekreiste Plus beinhaltet ja schon, daß der Schnitt der Unterräume trivial ist. Ich denke, es müßte so heißen:



Zitat:
Original von Matt_ler
Was sagst du dazu?


Gut.
Matt_ler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeile mit Lv=c habe ich scheinbar übersehen,
werde aber wohl c als das Bild der konstanten Funktion beibehalten, das finde ich übersichtlicher.

Zu der kleinen Unsauberkeit gebe ich dir recht, wir haben jedoch in der VO gezeigt das , usw. sprich L(.) ist linear, wodurch sich das erledigt.

Das mit der direkten Summe ist tatsächlich etwas komisch immerhin ist der Schnitt direkter Summen immer der Nullvektor, in der VO wurde das jedoch so aufgeschrieben (im Skript selbst steht nur ein + kein ), das ändere ich noch so ab wie du es gemacht hast.



Vielen dank für deine Hilfe! Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matt_ler
wir haben jedoch in der VO gezeigt das


Wetten daß nicht? Ihr habt sicher stehen:



Und das hat nichts mit der Linearität des Integrals zu tun, sondern ist einfach die Definition der Differenz zweier Funktionen mit ein wenig Integral drumrum. Und eine Definition kann man nicht zeigen. Augenzwinkern
 
 
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