Taylorpolynom Restgliedabschätzung

14.01.2021, 20:24

Pythagoras14

Taylorpolynom Restgliedabschätzung

Meine Frage:
a) Geben Sie das Taylorpolynom 4ten Grades vom Kosinus um x = 0.
b) Schätzen Sie das Restglied |cos(x) - T4(x)| mittels des Satzes von Taylor für |x| < 10^-4 nach oben ab. Verwenden sie die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |sin \epsilon| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das Taylorpolynom habe ich bereits bestimmt. Bei Aufgabe b) komme ich gerade nicht weiter. Ich weiß nicht so recht wie das mit dem Abschätzen funktioniert.

15.01.2021, 03:10

klauss

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RE: Taylorpolynom Restgliedabschätzung
Damit Dir geholfen werden kann, solltest Du zuerst das Taylorpolynom 4ten Grades und das Restglied hier zur Kontrolle angeben.

15.01.2021, 06:32

Pythagoras14

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RE: Taylorpolynom Restgliedabschätzung
Mein Polynom lautet T = 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4

15.01.2021, 11:09

klarsoweit

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RE: Taylorpolynom Restgliedabschätzung
Wie klauss schon sagte, brauchst du auch das Restglied. Zur Erinnerung: für das Restglied R_n gilt:

$\begin{eqnarray*} R_nf(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!} \cdot (x-a)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dieses Restglied mußt du abschätzen.

15.01.2021, 11:22

HAL 9000

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Wobei man hier beim Kosinus noch die Wahl hätte zwischen einer Abschätzung von $\begin{eqnarray*} R_4f \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R_5f \end{eqnarray*}$ :

Weil Taylorreihe/Taylorpolynome der Kosinusfunktion nur Potenzen geraden Grades enthalten, ist $\begin{eqnarray*} T_5(x)=T_4(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. es kommt da ja nur $\begin{eqnarray*} 0\cdot x^5 = 0 \end{eqnarray*}$ hinzu.

Die zweite Abschätzung basierend auf $\begin{eqnarray*} R_5f \end{eqnarray*}$ ist im vorliegenden Intervallfall ein ganzes Stück besser als die erste. Allerdings spricht der Tipp

Zitat:

Original von Pythagoras14
Verwenden sie die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |sin \epsilon| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

dafür, dass die Aufgabensteller dann doch die schlechtere Abschätzung basierend auf $\begin{eqnarray*} R_4f \end{eqnarray*}$ im Sinn haben. Augenzwinkern

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