Basis bilden

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frage2357 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bilden
Hallo,

ich komm hier leider auf keine Lösung.
[attach]52471[/attach]
Die Idee war, zu überprüfen für welche r und s die Vektoren w1 und w2 linear unabhängig sind.
Ich habe das Gleichungssystem aufgestellt, aber irgendwie weiß ich nicht wie mir das weiterhelfen soll:

a(rx+x')+b(x+sx')=0
a(ry+y')+b(y+sy')=0

Hab dann nach r und s umgestellt aber irgendwie hilft mir das nicht viel. Übersehe ich irgendwas?

Über Tipps wär ich sehr dankbar!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man schon etwas über Determinanten weiß, ist die Aufgabe ein Kinderspiel:



Ist daher , dann bilden keine Basis, ist dagegen , bilden sie eine Basis.

Aber möglicherweise stehen dir Determinanten noch nicht zur Verfügung. Dann kannst du das direkt über die Definition der linearen Unabhängigkeit machen. So scheinst du auch angefangen zu haben. Aber irgendwie hast du die Bezeichnungen geändert. Ich blicke da nicht mehr durch. Ich bleibe also bei den Bezeichnungen der Aufgabe.

Für Skalare darf die Gleichung



nur die triviale Lösung besitzen. Setzt man für und ihre Linearkombinationen bezüglich ein und ordnet man um, so bekommt man:



Und weil linear unabhängig sind, bekommt man hieraus ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten :




Eine Lösung ist natürlich die triviale . Aber man muß nun dafür sorgen, daß dies die einzige Lösung bleibt. Mit einer nichttrivialen Lösung würde nämlich oben auch gelten, und würden sich als linear abhängig erweisen.

Wann also hat das Gleichungssystem nur die triviale Lösung? Man könnte die Gleichung durch ersetzen und beibehalten. Das ist bekanntermaßen eine elementare Äquivalenzumformung für lineare Gleichungssysteme. Der Sinn ist, zu eliminieren.
Welche Bedingung an und mußt du nun stellen, damit sich aus dem Gleichungssystem zwangsläufig die triviale Lösung ergibt?
frage2357 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die ausführliche Antwort.
Determinanten haben wir noch nicht gemacht.

Bis (r»1+»2)v1+(»1+s»2)v2=0 kann ich alles nachvollziehen, und auch alles ab
(1) r»1+»2=0
(2) »1+s»2=0

Nachdem ich »2 eleminiert habe, erhalte ich -sr»1+»1=0, woraus ich schließe, dass s und r ungleich 1 sein müssen, da man sonst -»1+»1=0 erhält, also für »1 ein beliebiges Element aus R sein darf und somit »1 ungleich 0 nicht mehr linear unabhängig wäre.

Was ich nicht verstehe, ist dieser Schritt:
(r»1+»2)v1+(»1+s»2)v2=0

Und weil v1,v2 linear unabhängig sind, bekommt man hieraus ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten »1,»2:

(1) r»1+»2=0
(2) »1+s»2=0

Ich verstehe den Zusammenhang von "v1, v2 sind linear unabhängig" und "deswegen erhällt man das folgende Glrichungssystem" nicht. Wär super wenn du mir diesen Schritt noch einmal genauer erklären könntest.
(Ich hoffe es stört nicht, dass ich die Formeln so aufgeschrieben habe, hab leider och keine Erfahrung mit Latex)
frage2357 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das hat nicht geklappt, » soll hier Lambda darstellen. Hoffe man versteht trotzdem was ich meine, kann leider den Beitrag nicht bearbeiten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frage2357
Ich verstehe den Zusammenhang von "v1, v2 sind linear unabhängig" und "deswegen erhällt man das folgende Glrichungssystem" nicht.


sind linear unabhängig. Wenn daher eine Linearkombination dieser beiden Vektoren 0 ist, kann das nur dann der Fall sein, wenn die Koeffizienten der Linearkombination 0 sind. Und die Koeffizienten der Linearkombination sind gerade die Terme, die auf das lineare Gleichungssystem führen.

Zitat:
Original von frage2357
woraus ich schließe, dass s und r ungleich 1 sein müssen


Dieser Schluß ist falsch. Die Gleichung lautet



Und nur wenn , also ist, folgt hieraus .

Zitat:
Original von frage2357
(Ich hoffe es stört nicht, dass ich die Formeln so aufgeschrieben habe, hab leider och keine Erfahrung mit Latex)


Doch, es stört.
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