höhere Ableitungen der Deltafunktion

21.01.2021, 16:19

triton

höhere Ableitungen der Deltafunktion

Meine Frage:
Hi,

Ich soll zeigen, dass x^j d^k/dx^k delta(x) =
(-1)^j (k)(k-1)...(k-j+1) d^(k-j)/dx^(k-j)delta(x) ergibt, falls j <= k.

Meine Ideen:
Ich habe das berechnet und komme aber auf die Form:

x^j d^k/dx^k delta(x) = (-1)^k j! x^(j-k) delta(x)

Was mache ich falsch?

21.01.2021, 17:08

Ulrich Ruhnau

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion

Zitat:

verbessertes Original von triton
Meine Frage:
Hi,
Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x^j\frac{\dd^k}{\dd x^k} \delta(x) = (-1)^j (k)(k-1)...(k-j+1) \frac{\dd ^{k-j}}{\dd x^{k-j}}\delta(x) \end{eqnarray*}$ ergibt, falls $\begin{eqnarray*} j \le k \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe das berechnet und komme aber auf die Form:

$\begin{eqnarray*} x^j \frac{\dd^k}{\dd x^k} \delta(x) = (-1)^k j! x^{j-k} \delta(x) \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

Du machst falsch, daß Du nicht selber Latex benutzt und man Deine Formel erst mal in eine leserliche Form bringen muß. Jetzt sind immer noch zwei Dinge zu erraten.

1. Habe ich Dich richtig verbessert, oder meinst Du was anderes?
2. Was ist $\begin{eqnarray*} \delta(x) \end{eqnarray*}$ ? Kannst Du das irgendwie angeben?

21.01.2021, 17:20

triton

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Ja das ist richtig verbeseert, und das delta ist die delta distribution

21.01.2021, 19:02

Ulrich Ruhnau

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Warum schaust Du nicht auf Wiki nach? Du mußt einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\delta(x)=-\frac{\delta(x)}x \end{eqnarray*}$

induktiv nutzen.

21.01.2021, 19:24

triton

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Es handelt sich hier aber um distributive Ableitungen und nicht um die Definition in der nicht-standard Analysis. Daher kann ich dies erstmal nicht nutzen. Dazu würde das ja auch nur zu meinem schon berechneten Ergebnis führen, dass ich ja nicht möchte so weit ich das sehen kann.

21.01.2021, 19:59

Ulrich Ruhnau

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Warum schaust Du nicht auf Wiki nach? Du mußt einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\delta(x)=-\frac{\delta(x)}x \end{eqnarray*}$

induktiv nutzen.

Kürzen wir mal ab: $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\delta(x)=\delta'(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist: $\begin{eqnarray*} \delta''(x)=-\frac{\delta'(x)x-\delta(x)}{x^2}=-\frac{-\delta(x)-\delta(x)}{x^2}=\frac{2\delta(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich schon mal einen Anfang gesetzt. Aber Du must selbst sehen, wie Du weitermachst. Es sollte jedoch auf eine vollständige Induktion hinauslaufen.

21.01.2021, 20:18

IfindU

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
@Ulrich: Das ist eine pro-forma Rechnung, welche in der Non-Standard Analysis gültig wäre. In der klassischen allerdings nicht!

@triton: Du wirst uns schon die Rechnung zeigen müssen. Kann es sein, dass bei dir $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durcheinander gekommen sind?

21.01.2021, 22:21

Ulrich Ruhnau

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
@IfindU
Deine komischen Klassifizierungen sagen mir nichts.

Diese Formel steht in Wikipedia:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\delta(x)=-\frac{\delta(x)}x \end{eqnarray*}$

Könntest Du mir mal sagen, was Du eigentlich meinst?

21.01.2021, 23:14

IfindU

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Die Dirac-Funktion hat einen Sprung bei 0, ist nicht stetig, insbesondere also dort nicht traditionell differenzierbar. Und überall sonst ist die Ableitung 0.

Wenn du auch die "klassische" Definition der Delta-Funktion einsetzt, steht dort die Formel $\begin{eqnarray*} \frac d {dx} \delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls } x \neq 0 \\ \frac 1 x & \text{ falls } x =0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Es kann also nicht "klassisch" gemeint sein, da beim einzig interessanten Fall ( $\begin{eqnarray*} x= 0 \end{eqnarray*}$ ) man per Definition durch 0 teilt.

Man muss die Formel lesen was sie ist: eine kurze Schreibweise für ein verallgemeinertes Konzept von Ableitung, definiert auf allgemeineren Raum von "Funktionen".

Tatsächlich meint man hier nicht die Delta-Funktion, sondern die Delta-Distribution. Diese operiert (als Element im Dualraum der $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ Funktionen) auf den $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ per $\begin{eqnarray*} \delta(f) = f(0) \end{eqnarray*}$ . Damit kann man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \delta(f) \end{eqnarray*}$ definieren als $\begin{eqnarray*} \frac d {dx} \delta(f) := -\delta\left(\frac d {dx} f\right) = -f'(0) \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man Distributionen teilweise wieder mit Funktionen identifizieren. In diesem Fall ist die Delta-Distribution identifizierbar mit dem der Integration gegen das Dirac-Maß, welches nach Radon-Nikodym einen "funktionsartigen" Anteil besitzt. In diesem Fall besitzt es nur noch den Sprunganteil (in der 0) und netterweise keinen Cantoranteil.

Diese ganzen Beziehungen führen dann dazu, dass man Dirac-Maß, Dirac-Distribution und Dirac-Funktion häufig "austauschbar" benutzen kann und man sich den Luxus gönnt in der Notation lax zu werden.

21.01.2021, 23:26

triton

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Ich werde das nochmal sauber aufschreiben

22.01.2021, 09:35

triton

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Ich komme auf die Form:

$\begin{eqnarray*} x^{j} \delta^k (x) = \left[x^{j} \delta^{k-1}\right]|x=0 -\int_{-\infty }^{\infty } \! jx^{j-1} \delta^{k-1} \, dx \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann induktiv aber auf

$\begin{eqnarray*} x^{j} \delta^k (x) = (-1)^{k} j! \delta^{k-j} \end{eqnarray*}$

bei j fachem anwenden.

22.01.2021, 13:01

IfindU

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
Das sieht richtig aus, wenn $\begin{eqnarray*} \delta^k \end{eqnarray*}$ die k-te Ableitung meint.

Aber ich hátte auch $\begin{eqnarray*} j! \end{eqnarray*}$ als Vorfaktor statt wie die Musterlösung $\begin{eqnarray*} \frac {k!}{j!} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Musterlösung ist definitiv falsch. Es reicht $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Dann wächst der Vorfaktor rechts mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , während der links konstant 1 ist.

22.01.2021, 13:04

triton

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RE: höhere Ableitungen der Deltafunktion
gut danke

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