Determinante einer Exponentialmatrix

24.01.2021, 10:31	Kidney	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer Exponentialmatrix Meine Frage: Hallo Wenn ich den Wert einer Determinante kenne $\begin{eqnarray} det(A) \end{eqnarray}$ Was kann man das diese Determinante aussagen $\begin{eqnarray} det(e^{A} ) \end{eqnarray}$ Gruß Meine Ideen: es scheint so zu sein,dass bei $\begin{eqnarray} det(A) =1 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} det(e^{A} )=1 \end{eqnarray}$ ist
24.01.2021, 11:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante einer Exponentialmatrix Hier bietet sich die Darstellung $\begin{eqnarray} e^A = \lim_{n\to\infty}\left ( 1 + \frac A n \right)^n \end{eqnarray}$ an. Mit der Stetigkeit und Rechenregel der Determinate bekommt man $\begin{eqnarray} \det (e^A ) = \lim_{n \to \infty} \left [\det \left ( 1 + \frac A n \right)\right]^n \end{eqnarray}$ . Mit einer Taylor-Entwicklung von $\begin{eqnarray} \det \end{eqnarray}$ um die Identität sollte man eine schöne Darstellung bekommen.
24.01.2021, 11:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante einer Exponentialmatrix @Kidney: Deine Hypothese ist schon für die $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ falsch, weil $\begin{eqnarray} \det e^I=e^n \end{eqnarray}$ . Für den speziellen Fall einer diagonalisierbaren Matirx $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda_1, \ldots , \lambda _n \end{eqnarray}$ kennt man die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} e^A \end{eqnarray}$ und jetzt muss man nur noch die Begriffe Eigenwerte, Determinanten und Spur zusammen bringen.

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