Induktionsbeweis

25.01.2021, 08:54	Jessica_	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Ich übe derzeit Induktion und zwar wollte ich für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ per Induktion beweisen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \end{eqnarray}$ Ideen: Ich beginne direkt mit dem Induktionsschluss: z.z. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n+1} k\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n +1)^3 =_{IV} \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 + (n +1)^3 \end{eqnarray}$ Hier fällt mir leider nicht weiter ein, wie ich das weiter umstellen könnte.
25.01.2021, 09:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
De facto beweist man die beiden Einzelformeln $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ .
25.01.2021, 09:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induk Ich kenne diese Beziehung als unmittelbare Folgerung der Potenzsummenformeln $\begin{align} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1) \, , \ \ \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 \end{align}$ die sich beide leicht mit Induktion nachweisen lassen. Ich vermute, daß ein direkter Beweis deiner Formel mit Induktion nicht möglich oder zumindest nicht einfach möglich ist. Irgendwo wird man während des Induktionsschlusses doch die erste Formel oben brauchen. Dann kann man aber auch gleich auf Induktion verzichten und jede der Formeln oben getrennt beweisen und die gewünschte Folgerung ziehen. Ich lasse mich aber gern eines Besseren belehren.
25.01.2021, 09:19	Jessica_	Auf diesen Beitrag antworten »
Omg, das ist so smart. Darauf wär ich nie gekommen. Die erste Gleichung hatte ich bewiesen und das zweite kriege denke ich auch hin. Ich danke euch beiden.
25.01.2021, 11:21	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induk Wenn man für diesen Beweis den Induktionsschritt auf die gesamte Gleichung direkt anwenden will, ergibt sich folgendes Problem: Da auf der rechten Seite eine Summe $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ in der Klammer steht und dann noch quadriert wird, müsste man für die Hinzunahme eines weiteren Summanden $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ an die binomische Formel denken: $\begin{eqnarray} \qquad(S+a)^2\ =\ S^2\,+\, 2\,S\,a\,+\,a^2 \end{eqnarray}$ Dadurch würde ein derartiger Beweis recht umständlich - und wahrscheinlich aufwändiger als die separate Behandlung des linken und des rechten Terms der ursprünglichen Gleichung.

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