Ungleichung beweisen

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Oligarchus Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen
Meine Frage:
ist die Ungleichung. Des Weiteren gilt für die reellen Zahlen a,b,c folgende Gleichung:

Meine Ideen:
Ich habe probiert c in der Ungleichung durch a und b zu ersetzen, aber mit dem Wurzeln konnte ich nicht wirklich was gescheites fabrizieren...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oligarchus

Irgendwas ist da rechts schiefgegangen - korrigier das mal bitte, bevor falsche Vermutungen darüber auftauchen, was da stehen soll...
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Für ist die Ungleichung z.B. nicht erfüllt.
Oligarchus Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich dachte die Wurzel braucht beim Latex noch ein paar zusätzliche Klammern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann greift das Gegenbeispiel von URL.
Oligarchus Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte den Post lieber nochmal überprüfen sollen. a,b,c sollen positive reelle Zahlen sein. Jetzt stimmt aber alles...
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt man , dann schreibt sich das angenehmer als und . Vielleicht kann man jetzt noch verwenden. Gerade sehe ich aber nicht wie verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt .

Damit gilt zum einen und zum anderen , und damit für das Produkt

,

daraus folgt sogar das (rechts) um den Faktor 2 schärfere



Ich tippe mal drauf, dass du diesen Faktor 2 da noch "vergessen" hattest - oder aber links steht Faktor 2 statt 4.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit klassischer Analysis kann man auch den Weg von URL zu Ende gehen. Man eliminiert aus der Bedingung und hat dann die Funktion mit



zu untersuchen. Die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei . Der Wert dort ist



Da an beiden Rändern gegen 1 strebt, kann es sich bei nur um ein Minimum der Funktion handeln.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Verfolgt man meinen Ansatz und verwendet für , bekommt man , die gewissermaßen zwischen den beiden bisher gefundenen liegt.

Edit: @Leopold: Ich habe hier noch nicht eliminiert: Aus wird mit und analog der Ausdruck , den man durch abschätzen kann.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch mit Polarkoordinaten arbeiten: . Für den Ausdruck erhält man dann





Nur die erste Klammer wird im fraglichen Bereich 0, nämlich für . Der Funktionswert ist



Dieser Wert ist kleiner als die Werte für oder . Folglich liegt ein Minimum vor, und wir haben wieder HALs Konstante:

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