Wie heißt die richtige Ableitung?

27.01.2021, 13:33	Stierbier	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie heißt die richtige Ableitung? Meine Frage: Ich bin gerade am Verzweifeln beim Ableiten dieser Funktion: $\begin{eqnarray} \frac{2\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) }{(2+ \cos(x))^{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich glaube bis hier in stimmt alles habe Quotienten-, Ketten- und Produktregel benutzt. $\begin{eqnarray} \frac{(2\cos(x)+2\sin(x) -2\cos^{2}(x))(2+\cos(x))^{2} - (-4\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x))(2\sin(x) - \cos(x)\sin(x))}{(2+ \cos(x))^{4}} \end{eqnarray}$ Als nächste wollte ich die hoch 2 mit der hoch 4 kürzen, damit im Nenner nur noch hoch 2 steht und die Binomische Formel im Zähler weg fällt. Aber danach wird alles falsch... Wie muss ich weiter machen?
27.01.2021, 13:50	G270121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie heißt die richtige Ableitung? Vlt. hilft Ausklammern im Zähler: Z = 2sinx(1-cosx) = u u' = ... v= Nenner -> v' = ...
27.01.2021, 14:14	Stierbier	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie heißt die richtige Ableitung? u, u' und v, v' hab ich ja schon, bei denen bin ich mir relativ sicher. $\begin{eqnarray} u =2\sin(x)-2\cos(x)\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=2\sin^{2}(x) +2\cos(x) - 2\cos^{2}(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = (2+\cos(x))^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v' = -4\sin(x) -2\cos(x)\sin(x) \end{eqnarray}$
27.01.2021, 14:50	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie heißt die richtige Ableitung? Die einzelnen Ableitungen stimmen. Nur Deine Idee, $\begin{eqnarray} (2+\cos x)^2 \end{eqnarray}$ rauszukürzen, wird nicht möglich sein, im rechten Zählersummand steht nichts davon. Du kannst zwar noch etwas vereinfachen, aber es bleibt halt doch ein rechter Wust, fürchte ich. Prüfen kannst Du ihn mit unserem Differenzierer. Viele Grüße Steffen
27.01.2021, 18:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Anmerkung zur Ableitung von Quotienten mit Potenzen im Nenner: Man sieht sehr oft $\begin{eqnarray} \left( \frac{u}{v^m}\right)' = \frac{u'\cdot v^m - u\cdot \left(v^m\right)'}{v^{2m}} = \frac{u' v^m - muv^{m-1}v'}{v^{2m}} \end{eqnarray}$ und dann wird fröhlich im Zähler ausmultipliziert - NEIN, bitte nicht! Erstmal den Nenner gegen das auch im Zähler vorhandene $\begin{eqnarray} v^{m-1} \end{eqnarray}$ kürzen: $\begin{eqnarray} \left( \frac{u}{v^m}\right) = \frac{\left( u'v - muv'\right)v^{m-1}}{v^{2m}} = \frac{u'v - muv'}{v^{m+1}} \end{eqnarray}$ Das ganze kann man auch einfacher haben, wenn man gleich Produkt- statt Quotientenregel verwendet: $\begin{eqnarray} \left( \frac{u}{v^m}\right)' = \left( u\cdot v^{-m}\right)' = u'\cdot v^{-m} + u\cdot (-m)v^{-m-1}v' = \left(u'v-muv'\right)v^{-m-1} = \frac{u'v - muv'}{v^{m+1}} \end{eqnarray}$ . Im vorliegenden Fall hat man unter Beachtung dieses Prinzips gleich nur $\begin{eqnarray} (2+\cos(x))^3 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} (2+\cos(x))^4 \end{eqnarray}$ im Nenner der Ableitung.

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