Jordan Normalform, Aufstellen der Hauptvektorketten

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c16xf38 Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Normalform, Aufstellen der Hauptvektorketten
Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe ist folgende:

Gegeben ist die Matrix A =
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A.

Meine Ideen:
Ich habe den Eigenwert 5 mit algebraischer Vielfachheit = 2 und den Eigenwert -1 mit algebraischer Vielfachheit = 1 berechnet.

Zum Eigenwert 5:

Kern(A-5*E) = . Das ist noch nicht der Hauptraum von 5, da algebraische Vielfachheit = 2 > 1 = geometrische Vielfachheit.
Diesen Vektor haben wir in der VL genannt.

Berechne also Kern(A^2-5*E) = = Hauptraum vom Eigenwert 5.
Der zweite Vektor ist also neu, den haben wir in der VL genannt.


Nun zur Berechnung der Hauptvektorketten:

Da neu dazugekommen ist, benenne diesen Vektor um in .

Berechne nun (A-5*E)* , also

So. Hier komme ich nicht mehr so recht weiter.

Jetzt habe ich das so verstanden, dass man das eben errechnete Ergebnis mit einer Auswahl von Vektoren aus zu einer Basis von machen soll.

Da bleibt dann ja nur der Vektor


Zum Eigenwert -1, da die algebraische Vielfachheit = 1 ist, bleibt ja nur, dass man den Kern berechnet = und das dann in die Transformationsmatrix S einsetzt.


Wie man sieht, gegen Ende bei der Berechnung der Hauptvektorketten habe ich noch nicht ganz durchgeblickt.
Würde mich über Hilfe freuen.

Lg
xb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform, Aufstellen der Hauptvektorketten
Zitat:
Original von c16xf38
Berechne also Kern(A^2-5*E)

Kern(A-5*E)^2
c16xf38 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ja danke!


Selbst damit komme ich nur auf folgendes:

Kern(A-5*E) =

Kern(A-5*E)^2 =

Also ist zuletzt hinzugekommen, d.h. man muss diesen Vektor nehme und noch mit (A-5*E) multiplizieren, dann bekomme ich heraus.

Und an diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. unglücklich
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Unter https://www.geogebra.org/m/cbrraju7
findest Du eine GeoGebra App (muß allerdings umgebaut werden, weil HV 1.+2.Stufe behandelt werden).

Mit N=2
Suche HV € Ker (A-l E)^N mit dim Ker (A-l E)^N = 2 geoVH l=5 & HV ¬€ Ker (A-lE)^N-1
erhalte ich

nicht im Kern liegt
HV2=(0,1,1) und weiter dann
HV1=(A-lE) (0,1,1) = (12,0,0)

damit haben wir


c16xf38 Auf diesen Beitrag antworten »

danke!

jetzt weiß ich immerhin, wo ich den Fehler gemacht habe.

Ich habe (A-5*E)^2 berechnet. Da kommt

raus.

D.h. man kann die 2. Zeile von der 3 abziehen, und erhält eine Nullzeile. Dann noch durch 18 teilen und ich komme auf folgendes Ergebnis:


Nach dem Verfahren aus der VL ist in der 3 Spalte die Nichtstufenspalte neu dazugekommen, d.h. man fügt im Ergebnisvektor in Position 3 eine 1 ein und fügt sonst das Ergebnis aus der 3 Spalte negativ ein.

Also

Wo genau hab ich da denn jetzt den Fehler gemacht? Wenn ich mir den Kern von online Rechnern berechnen lasse, kommt tatsächlich auch die (0,1,1) raus....
c16xf38 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag, kann leider nicht mehr editieren:

Ich habs, danke für eure Hilfe.

Habe schlichtweg vergessen die Nichtstufenspalte in Spalte 1 aus Kern(A-5*E)^2 zu beachten.
Jetzt komme ich auf das richtige Ergebnis. Danke!
 
 
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