Eindeutige lineare Abbildung zwischen Vektorräumen

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutige lineare Abbildung zwischen Vektorräumen
Hallo Leute,

ich bin grad mit einer etwas verwirrenden Aufgabe konfrontiert und ich möchte sie gar nicht explizit gelöst bekommen, nur eine kurze Anmerkung zum Verständnis haben.

Gegeben ist eine Basis des und eine Basis des . Gezeigt werden soll jetzt, dass es genau eine lineare Abbildung gibt. Aber das stimmt doch nicht, oder?

Ich kann zwar eine Abbildungsmatrix erstellen, die bestimmte gewünschte Eigenschaften hat, wie , und , aber es gibt doch unendlich viele Basen vom und vom . Es ist zwar möglich die mit Transformationsmatrizen ineinander zu überführen, aber die Abbildungsmatrizen sehen dann komplett verschieden aus, also gibt es doch eben nicht genau eine lineare Abbildung, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte poste den genauen Wortlaut der Aufgabe, denn so wie er hier steht ist die Aufgabe sinnlos.
Beispielsweise tauchen die Basen ohne Zusammenhang zur Abbildung auf. Wenn sie irrelevant wären, bräuchten sie nicht erwähnt werden.
Aber selbst, wenn ich rein interpretiere, wie es deine Antwort vermuten lässt, wäre das Bild von noch unklar.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Puh ok.... Ich hab die Aufgabe nämlich leicht abgeändert, weil ich Angst hatte irgendwelche Urheberrechte zu verletzten. Aber ich habe das Original jetzt mal in Latex abgetippt und poste es hier als Bild.

[attach]52669[/attach]

Zu (a): Dass die erste Menge an Vektoren eine Basis bildet, habe ich einfach überprüfen können. Doch schon die zweite Teilfrage ist in meinem Kopf sinnlos, weil ich denke, dass es unendlich viele lineare Abbildungen gibt.
Zu (b): Wenn ich mir also eine Basis aussuchen kann, könnte ich ja die Standardbasen nehmen, weshalb ich denke, dass eine Basis für das Image von gleich die Spaltenvektoren von Einheitsmatrix sind und der Kern von gleich die letzten beiden Spaltenvektoren von der Einheitsmatrix , stimmt das?
Zu (c): Ich habe gezeigt, dass eine Basis des ist. ei der Darstellungsmatrix bin ich mir allerdings unsicher, einfach wegen meiner Vermutung aus (a).

Kannst du mir bitte weiter helfen? Ich habe eigentlich ein ganz solides Grundwissen, allerdings macht mich diese Aufgabe fertig unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich kompletter Unfug. Wenn du die Aufgabe fehlerfrei abgeschrieben hast, ist die Aufgabe fehlerhaft. Wenn die Aufgabe fehlerfrei ist, hast du sie falsch abgeschrieben. Du kannst zeigen, dass es genau eine lineare Abbildung mit gibt. Und du kannst ihre Darstellungsmatrix bezüglich der beiden Basen berechnen.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ach die Bedeutung der gegebenen Vektoren ist ? Das ist die Aufgabe (a) tatsächlich einfach lösbar. Wenn die Abbildungsmatrix erst einmal bekannt ist, dann sogar (b). Nur noch eine letzte Frage: Diese Abbildungsmatrix, die in (a) errechnet wird und für die Untersuchung in (b) genutzt wird ist bzgl. der Standardbasis, richtig? Die in (c) gesuchte Abbildungsmatrix soll aber bzgl. der Basis A sein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dich nicht. Kannst du auch konkret werden ?
In der Aufgabe wird die Darstellungsmatrix bezüglich A und B gesucht, von Standardbasis ist nirgends die Rede.
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mit der Aufgabe in (a) ist gemeint, dass aus den Vektoren die Einheitsvektoren kombiniert werden sollen und dann mit der selben Koordinaten auch die Vektoren kombiniert werden sollen. Weil ja die Spalten der Darstellungsmatrix ergeben. Ist das falsch?

Edit: Also ich will damit nur sagen, dass ich auf jeden Fall verstehe, wie Aufgabe (c) zu lösen geht. Ich stelle und als Linearkombinationen von den drei ersten (Basis-)Vektoren dar und fasse die Koordinaten in eine Matrix zusammen. Mich verwirrt nur immer noch Aufgabe (a), dass es nur genau eine lineare Abbildung geben soll und wie ich die zugehörige Abbildungsmatrix bestimme.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt.
In den Spalten einer Darstellungsmatrix stehen die Komponentenvektoren der Bilder.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet das, dass , obwohl nur die ersten drei eine Basis des bilden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet nichts, ich stelle nur Tatsachen fest, die allgemein bekannt sind.
ist eine Basis des , und ist eine Basis des wie man schnell feststellt, wenn man die Vektoren in Matrizen schreibt und deren Rang bestimmt. Der Vektor hat das Bild , also ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt.

In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Komponentenvektoren der Bilder, also in den ersten 3 Spalten die und in den Spalten 4 und 5 die Vektoren und , dargestellt in der Basis .

Noch einfacher geht es nicht, man muss nur die zwei Sätze kennen und verstehen, die ich in meinem letzten Beitrag aufgeschrieben habe.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir weiter schreiben, müssen wir uns nur kurz auf eine Schreibweise für die Darstellungsmatrix einigen. Unser Professor schreibt die Überführung der Koordinatenvektoren von Basis in Basis in dieser Form:

Und an dieser Stelle ergeben sich mir mehrere Fragen aus deiner letzten Antwort.

(1) Für die Darstellungsmatrix von bzgl. der Basen und (ich nenne sie jetzt ) habe ich auch in den ersten 3 Spalten , allerdings in den Spalten 4 und 5 habe ich wegen und die Vektoren und . Jedoch nicht die Bildvektoren und . Kannst du die Richtigkeit bestätigen oder deine Darstellungsmatrix erklären?

(2) Wie genau würdest du denn jetzt die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung bestimmen? Die Matrix überführt ja nur Koordinatenvektoren von nach . Allerdings ist mir bis zum Schluss nicht klar, wie genau aussieht in der Form .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ob eine Matrix heißt wie in deiner letzten Schreibweise oder wie in deinem pdf-file, ob die eine oder andere Basis oben oder unten steht, ist Konvention, also ziemlich egal.

zu (1) Das ist genau das was ich gesagt habe, du hast die letzten beiden Vektoren und in der Basis dargestellt und die Komponenten in die Spalten der Darstellungsmatrix geschrieben.

zu(2) Das war's. Was mit einem Vektor macht habe ich überdeutlich aufgeschrieben. . Dabei ist links der Vektor und rechts sein Komponentenvektor in der Basis . Diese beiden kann man gar nicht unterscheiden, das sind nur Schreibweisen: .
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Sry das ich immer erst so spät antworte, ich denke die ganze Zeit über das nach, was du geschrieben hast. Aber langsam wirds mir klar. Ich war gedanklich immer auf die Standardbasen versteift, in denen ein Koordinatenvektor auch immer gleich der Linearkombination der (geordneten) Basisvektoren entspricht. Ich habe ihn deshalb nicht als Koordinatenvektor wahrgenommen und mich gewundert, warum hier auf einmal die Abbildungsmatrix mit Koordinatenvektoren rechnen.

Könntest du mir dann allerdings noch abschließend erklären, wie ich auf den Kern der linearen Abbildung komme? Das Bild ist ja der von den Bildvektoren aufgespannte Raum, also der mit einer Basis von z.B. . Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die von auf den Nullvektor abgebildet werden und damit . Wenn ich die Abbildungsmatrix kenne, nachdem ich sie in (c) bestimmt habe, kann ich ja das zugehörige homogene LGS lösen und müsste den Kern erhalten, richtig? Aber wenn schon in Aufgabe (b) nach dem Kern gefragt wird, krieg ich das Gefühl, dass er auch ohne die Abbildungsmatrix schon vorher bestimmt werden kann. Wie würdest du an die Aufgabe ran gehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Urbildraumes, der Kern einer linearen Abbildung ist nicht eine Teilmenge der Basis des Urbildraumes. Das ist doch ganz offensichtlich, dass kein Basisvektor auf den Nullvektor abgebildet wird. Nach dem Dimensionssatz ist .
. Um den Kern von zu berechnen würde ich das LGS lösen, genau dafür ist es da, Gefühle spielen für Algorithmen keine Rolle.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Verzeihung, ich meinte natürlich . War mal wieder sehr lachs von mir formuliert. Da wirst du jetzt aber zustimmen? Den Kern hab ich jetzt übrigens genauso ausgerechnet, danke noch mal für die Bestätigung. Allerdings ist mir was unglaubliches aufgefallen und ich kann es mir nicht erklären.. Wenn ich die 5 Bildvektoren auf der linken Seite meines Tableaus stehen habe und Nullen auf der rechten Seite (homogenes LGS) und dann mit dem Gauß Algorithmus aus den ersten 3 Spalten mache, dann steht plötzlich auf der linken Seite des LGS die Abbildungsmatrix!!! Ich würde gern eine Erklärung versuchen. Bitte sei gnädig mit mir, ich gebe wirklich mein bestes, mich korrekt auszudrücken:

Die Lösung des homogenen LGS liefert mir die Koordinaten, mit denen ich die Null linear kombinieren kann. Da eine lineare Abbildung ist, kann ich genau die selben Koordinaten auch für die Vektoren aus nutzen; diese Koordinatenvektoren sind also mein Kern. Da allerdings eindeutig ist, kann es nicht zwei Abbildungsmatrizen (bzgl. und ) geben, die auf die Null abbilden. Da also diese Matrix genauso abbildet, wie die Abbildungsmatrix, muss sie gleich die Abbildungsmatrix sein.

Stimmt das? Bzw. kannst du mich bitte korrigieren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Interesse ist löblich, doch deine Mitteilungen sind spärlich. Du redest über Dinge, die ich nicht verstehe. Zeig doch mal bitte deine Abbildungsmatrix und eine Basis des Kerns oder den Kern.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Abbildungsmatrix lautet

, das ist das Resultat, nachdem ich die Bildvektoren mit dem Gauß Algorithmus so bearbeitet habe, dass im Gauß Tableau eine Einheitsmatrix in den ersten 3 Spalten steht. Wieso aber kommt bei dieser Rechnung die Abbildungsmatrix von bzgl. und raus?

Edit: Der Kern lautet dementsprechend

Und eine andere wichtige Frage kommt auch noch dazu, die mich zu tiefst ins Grübeln stürzt. An irgendeiner Stelle muss hier doch ein Fehler vorliegen:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt fast alles. Der Index an den Vektoren aus ist falsch. Vektoren im Definitionsbereich werden in der Basis dargestellt.

Zitat:
Original von MasterWizz
Die Lösung des homogenen LGS liefert mir die Koordinaten, mit denen ich die Null linear kombinieren kann. Da eine lineare Abbildung ist, kann ich genau die selben Koordinaten auch für die Vektoren aus nutzen; diese Koordinatenvektoren sind also mein Kern. Da allerdings eindeutig ist, kann es nicht zwei Abbildungsmatrizen (bzgl. und ) geben, die auf die Null abbilden. Da also diese Matrix genauso abbildet, wie die Abbildungsmatrix, muss sie gleich die Abbildungsmatrix sein.

Stimmt das? Bzw. kannst du mich bitte korrigieren?


Kannst du noch einmal erklären, was du damit meinst ? Die Matrix arbeitet mit den Basen und . Zum Beispiel ist
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, ich hab mich wieder nicht gut ausgedrückt.. Ich versuchs mal in Symbolen:
Der Kern bestimmt sich ja durch Die Koeffizienten sind die selben im Bildraum, wie im Urbildraum. Ist das (zusammen mit dem Fakt, dass eine Basis des ist) die Begründung dafür, dass eindeutig ist? Denn wenn nicht, verstehe ich nicht ganz, warum es nicht noch eine andere Abbildungsmatrix von nach geben kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt unendlich viele lineare Abbildungen , deshalb ist die Original-Aufgabe kompletter Unfug (habe ich schon mal gesagt). Wenn man die Bilder einer Basis festlegt, gibt es genau eine lineare Abbildung. Also ist durch eine lineare Abbildung festgelegt. Für diese eindeutig bestimmte lineare Abbildung kann man dann nach Bild, Kern und Darstellungsmatrix fragen. Das haben wir gemacht, mehr kann man nicht tun.

Nachtrag: ist eine Basis des , nicht .
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings verstehe ich noch immer nicht, wieso durch die Bilder die Abbildung eindeutig bestimmt ist. Nur weil eine Basis des ist? Warum folgt die Eindeutigkeit daraus? Das ist wirklich meine letzte Frage dazu, du hast mir schon jetzt massiv weiter geholfen. Vielen Dank schon jetzt an dieser Stelle! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Satz: Seien zwei -Vektorräume, eine Basis von und eine lineare Abbildung mit . Dann ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt.
Beweis: Jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung als endliche Linearkombination mit (auch wenn nicht endlich ist).
Dann ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt. qed.

Den Satz und Beweis (für ) hatte ich weiter oben schon geschrieben.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Genau da hab ich ein Problem. Ich verstehe die Beweisführung, allerdings nicht, warum es das gewünschte Resultat bestätigt. Und was mich irritiert ist, dass bei Wikiped
ia
steht:
und dass die mit .
Das einzige, was ich daraus ablesen kann, ist dass es für jeden Koordinatenvektor (in Bezug auf Basis ) einen zugehörigen Koordinatenvektor (in Bezug auf Basis ) gibt. Allerdings nicht eindeutig, weil es ja z.B. verschiedene Koordinatenvektoren gibt, die auf den Nullvektor abbilden. Aber vielleicht heißt das ja auch nur, dass die Abbildung nicht injektiv ist? In dem Fall versteh ich einfach nicht den Begriff "eindeutige Abbildung". Tut mir Leid für diese wirklich dumme Frage. Nur das muss ich einfach verstehen. Ich hab das Gefühl ich steht so unglaublich kurz vor einem Durchbruch dank deiner Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia sagt etwas über Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen, das ist sekundär. Zunächst hat jede lineare Abbildung ein Grundrecht auf unantastbare Würde. Der Satz, den ich bewiesen habe, ist viel fundamentaler und wichtiger als das ganze Matrizenzeug.
Legt man eine lineare Abbildung auf einer Basis fest, dann ist sie eindeutig festgelegt.
Diesen Satz und seinen Beweis musst du verstehen.

Danach kann man sich ansehen, wie man mit Koordinatenvektoren und Darstellungsmatrizen arbeitet.

1. Hat man in einem Vektorraum eine Basis, dann hat jeder Vektor eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Basisvektoren, diese kann man mit Koordinatenvektoren identifizieren.
2. Hat man eine lineare Abbildung f von V nach W, Basen in beiden Vektorräumen, dann schreibt man die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix, das ist die Darstellungsmatrix für die gilt f(v)=Mv.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Haha ich mag deinen Humor. Bist du zufällig Professor? Finde du kannst echt gut erklären.

Ich würds nur gern noch mal in meinen Worten zusammenfassen und von dir bestätigt kriegen, dass ich es ungefähr verstanden habe: ist deshalb "eindeutig", weil es jedem Vektor aus eindeutig ein Bild zuordnet? Genau das sagt ja der Beweis. Ist es wirklich so simpel? Denn dann hab ich es tatsächlich verstanden xD
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nur auf der Suche nach Wahrheit, und es ist mir wichtig, Wahrheit zu teilen, weil dadurch paradoxerweise mehr Wahrheit entsteht. Jetzt hast du eine wichtige Wahrheit verstanden, also hat sich unsere gemeinsame Anstrengung für uns beide gelohnt. smile
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für deine wertvolle Zeit und Unterstützung!! smile
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