Reihen auf Konvergenz untersuchen

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Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen auf Konvergenz untersuchen
Meine Frage:
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn jemand mal drüberschauen kann.
Drei Reihen sollen auf Konvergenz untersucht werden.



Meine Ideen:
Ich habe es mal mit dem Quotientenkriterium versucht:

a)


Ähnlich bin ich c) vorgegangen, erhalte hier zum Schluss

Bei b) habe ich folgendes überlegt:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dir das Quotientenkriterium falsch eingeprägt:

Es reicht NICHT, dass für alle gilt - sondern man muss ein (von unabhängiges) mit finden, so dass für alle gilt. Das ist ein Riesenunterschied, denn so ein wirst du bei a) NICHT finden! unglücklich


Was du bei b) und c) gerechnet haben willst, ist noch viel weiter weg:

Wie Rechnung zu c) passen soll, da kann ich nur erwidern: Erstaunt1

Und bei b) schätzt du das Reihenglied nach oben (!!!) ab und stellst fest, dass diese obere Schranke >1 ist. Sehr schön, aber keinerlei Aussagekraft hinsichtlich Konvergenz/Divergenz der Reihe.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, danke dir für die Antwort.

Kann ich dann bei a) überhaupt das Quotientenkriterium anwenden?

Und bei c) habe ich mich wohl verrechnet. Da komme ich nun bis zu , aber was dann?

Kann mir bei b) das Quotientenkriterium helfen?
Student1011 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quotientenkriterium kannst du immer anwendenden sowie das Wurzelkriterium. Jedoch doch ist keine aussage möglich wenn ist. Also ob Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium beide versagen hier.

Jedoch gibt es auch noch das Verdichtungskriterium, was man ausprobieren könnte wenn die beiden nichts gebracht haben.

Im allgemeinen würde ich immer schauen, dass ich das Wurzelkriterium anwende (ist einfacher). Speziell dann wenn du etwas mit als Bildungsgesetzt hast.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenkriterium hilft hier nur bei c) - vielleicht hast du auch eine Form kennengelernt, wo der Grenzwert (sofern er existiert) einfließt.

Bei a) denke an das Leibnizkriterium - ich nehme an, das habt ihr auch kennengelernt.

Und schließlich b): Denke an Majorantenkriterium (für Konvergenz) oder Minorantenkriterium (für Divergenz), je nachdem was hier passen könnte. Irgendweine Idee für eine ähnlich strukturierte Vergleichsreihe, deren Konvergenzverhalten dir bekannt ist?
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, Leibniz-Kriterium zur a)

ist eine monoton fallende Nullfolge (muss ich das hier zeigen?) konvergiert
 
 
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c)

Wurzelkriterium:



so? verwirrt

Bei der b) fällt mir gerade nichts ein..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist statt 4, aber auch mit dieser Korrektur klappt es mit der Konvergenz.

Zu b) Du hast doch sicher die Harmonische Reihe kennengelernt, und dass sie divergiert? In dem Zusammenhang verweise ich erneut auf das Minorantenkriterium.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt denn a) so?

Und zu b):


oder ausführlicher:




Wenn also die Folge definitiv größer oder gleich 1/n ist, dann wissen wir, dass diese auch definitiv konvergiert.

Jetzt müsste es doch stimmen oder?

Danke für die Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Enrico21
Wenn also die Folge definitiv größer oder gleich 1/n ist, dann wissen wir, dass diese auch definitiv konvergiert.

Was "konvergiert" ??? Erstaunt1
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir nochmal Gedanken zur c) mit dem Quotientenkriterium gemacht:



So sollte es passen oder? 1/3 < 1 => konvergent

zu b)
Ja da habe ich mich nicht richtig ausgedrückt.
Also wenn die harmonische Reihe divergiert, dann divergiert auch eine Reihe die immer größere Folgenglieder besitzt.
Divergiert natürlich, nicht konvergiert Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Enrico21
Divergiert natürlich, nicht konvergiert Hammer

Richtig, und es ist die Reihe, die divergiert (oben hattest du von "Folge" gesprochen).
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