Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen

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Jonasm Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen
Meine Frage:
Hallo,
Ich hätte eine Frage bezüglich des Begriffes der Isomorphie dargestellt durch eine Aufgabe, die ich irgendwie nicht so ganz verstehe.
Vorweg die Definition von Isomorphie ist mir bekannt, über die übliche Definition, dass ein Isomorphismus, d.h. ein bijektiver V-Raum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung) zwischen den beiden V-Räumen existiert.
Die zu betrachtende Aussage ist folgende:
Sei surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass V isomorph zu W×Kern(\phi) ist.

Meine Ideen:
Meine Idee an dieser Stelle war erstmal den Sinn nachzuvollziehen. Wenn die Abbildung auch injektiv wäre, dann ist der Kern trivial, wäre daher die Abbildung selbst die Bijektion und daher wären dann V und W isomorph.
Im weiteren sagt ja der Homomorphie-Satz, dass V/Kern isomorph zum Bild bzgl der Abbildung ist.
Aber ich kann mir aus diesen Gedanken irgendwie keinen ordentlichen schlüssigen Beweis bauen.

Ich will mich schonmal bedanken. Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar!

Liebe Grüße und bleibt gesund
Jonas
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RE: Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen
Was verstehst du denn unter dem Vektorraum W×Kern(\phi) ?
Jonasm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen
Ich würde darunter verstehe:
In endlichdimensionalen Räumen folgt ja aus der Surjektivität, dass die Dimension von V in diesem Fall größer der Dimension von W sein muss, könnte man darüber argumentieren, da ja die Dimension von ist und man weiß ( das wurde auch in der VL gezeigt und kann man sich ja über die Basen überlegen), dass
Aus dem Homomorphiesatz folgt dann ja quasi als Äquivalenz dass die Dimensionen von V gleich der Dimension von W×Kern ist. Und bei gleicher Dimension muss es ja eine Bijektion geben
Würde das so Sinn machen?
Das gilt nur im endlichdimensionalen Fall aber das wurde in der Aufgabe auch erwähnt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, er meint das äußere direkte Produkt von Vektorräumen.

Zum Kern von existiert ein Komplementärraum , also . Jedes besitzt eine eindeutige Darstellung

Jetzt sollte



den gewünschten Isomorphismus liefern. (Statt könnte man auch schreiben.)

Das sieht ein bißchen nach "Hochmultiplizieren des Nenners" aus:

Aus wird .
Jonasm Auf diesen Beitrag antworten »

Dämlich, dass ich auf diese Abbildung nicht selbst gekommen bin. Vielen Dank dafür smile
Würde der Ansatz, den ich eben verfasst habe auch so Sinn machen?
Das einzige Problem was mir bei meinem Argument aufgefallen ist, ist, dass es zwar mindestens eine Bijektion gibt, die nicht aber zwangsweise auch selbst linear ist, daher muss man eine angeben, oder?

Liebe Grüße
Jonas
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