Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen |
16.02.2021, 14:17 | Jonasm | Auf diesen Beitrag antworten » |
Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen Hallo, Ich hätte eine Frage bezüglich des Begriffes der Isomorphie dargestellt durch eine Aufgabe, die ich irgendwie nicht so ganz verstehe. Vorweg die Definition von Isomorphie ist mir bekannt, über die übliche Definition, dass ein Isomorphismus, d.h. ein bijektiver V-Raum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung) zwischen den beiden V-Räumen existiert. Die zu betrachtende Aussage ist folgende: Sei surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass V isomorph zu W×Kern(\phi) ist. Meine Ideen: Meine Idee an dieser Stelle war erstmal den Sinn nachzuvollziehen. Wenn die Abbildung auch injektiv wäre, dann ist der Kern trivial, wäre daher die Abbildung selbst die Bijektion und daher wären dann V und W isomorph. Im weiteren sagt ja der Homomorphie-Satz, dass V/Kern isomorph zum Bild bzgl der Abbildung ist. Aber ich kann mir aus diesen Gedanken irgendwie keinen ordentlichen schlüssigen Beweis bauen. Ich will mich schonmal bedanken. Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar! Liebe Grüße und bleibt gesund Jonas |
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16.02.2021, 15:18 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen Was verstehst du denn unter dem Vektorraum W×Kern(\phi) ? |
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16.02.2021, 16:32 | Jonasm | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Isomorphie zeigen zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen Ich würde darunter verstehe: In endlichdimensionalen Räumen folgt ja aus der Surjektivität, dass die Dimension von V in diesem Fall größer der Dimension von W sein muss, könnte man darüber argumentieren, da ja die Dimension von ist und man weiß ( das wurde auch in der VL gezeigt und kann man sich ja über die Basen überlegen), dass Aus dem Homomorphiesatz folgt dann ja quasi als Äquivalenz dass die Dimensionen von V gleich der Dimension von W×Kern ist. Und bei gleicher Dimension muss es ja eine Bijektion geben Würde das so Sinn machen? Das gilt nur im endlichdimensionalen Fall aber das wurde in der Aufgabe auch erwähnt |
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16.02.2021, 16:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke, er meint das äußere direkte Produkt von Vektorräumen. Zum Kern von existiert ein Komplementärraum , also . Jedes besitzt eine eindeutige Darstellung Jetzt sollte den gewünschten Isomorphismus liefern. (Statt könnte man auch schreiben.) Das sieht ein bißchen nach "Hochmultiplizieren des Nenners" aus: Aus wird . |
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16.02.2021, 16:46 | Jonasm | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dämlich, dass ich auf diese Abbildung nicht selbst gekommen bin. Vielen Dank dafür Würde der Ansatz, den ich eben verfasst habe auch so Sinn machen? Das einzige Problem was mir bei meinem Argument aufgefallen ist, ist, dass es zwar mindestens eine Bijektion gibt, die nicht aber zwangsweise auch selbst linear ist, daher muss man eine angeben, oder? Liebe Grüße Jonas |
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