Zentraler Grenzwertsatz

20.02.2021, 16:53

yellowman

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Zentraler Grenzwertsatz

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Ein fairer Würfel wird n mal unabhängig voneinander geworfen. Es bezeichne $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Anzahl der geworfenen Fünfen und Sechsen.
a) Der Würfel wird $\begin{eqnarray*} n=450 \end{eqnarray*}$ mal geworfen. Berechne mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die ungefähre Wahrscheinlichkeit dafür, dass $\begin{eqnarray*} |150-X|\leq 10 \end{eqnarray*}$ gilt.

b) Wie oft muss der Würfel mindesten geworfen werden, damit die Zufallsvariabe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% um höchstens $\begin{eqnarray*} 2% \end{eqnarray*}$ der Anzahl der Würfe vom Erwartungswert abweicht? Vernwende dazu wieder den zentralen Grenzwertsatz.

Meine Ideen:

Für den zentralen Grenzwertsatz gilt erstmal: $\begin{eqnarray*} P(a\leq\frac{X-E(x)}{\sqrt{Var(x)}}\leq b)\approx\Phi(b)-\Phi(a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß.

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht so wirklich sicher was die Betragsungleichung genau aussagt. Was ich allerdings weiß, da $\begin{eqnarray*} 450 \end{eqnarray*}$ mal gewürfelt wird kann ich sowohl Erwartungswert als auch Varianz bestimmen. Es gilt nämlich:
$\begin{eqnarray*} E(x)=np=450\frac{2}{6}=150 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(x)=np(1-p)=450\frac{2}{6}\frac{4}{6}=100 \end{eqnarray*}$

Mithilfe der Betragsungleichung werde ich wohl irgendwie a und b bestimmen können. Kann mir da jemand weiterhelfen?

LG smile

smile

20.02.2021, 17:23

Helferlein

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Setze deine Werte doch einmal in die Abschätzung mit dem Grenzwertsatz ein und vergleiche sie mit der Ungleichung, die Du untersuchen sollst.

21.02.2021, 12:55

Ulrich Ruhnau

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RE: Zentraler Grenzwertsatz

Zitat:

Original von yellowman
Ein fairer Würfel wird n mal unabhängig voneinander geworfen. Es bezeichne $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Anzahl der geworfenen Fünfen und Sechsen.
a) Der Würfel wird $\begin{eqnarray*} n=450 \end{eqnarray*}$ mal geworfen. Berechne mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die ungefähre Wahrscheinlichkeit dafür, dass $\begin{eqnarray*} |150-X|\leq 10 \end{eqnarray*}$ gilt.

b) Wie oft muss der Würfel mindesten geworfen werden, damit die Zufallsvariabe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% um höchstens $\begin{eqnarray*} 2% \end{eqnarray*}$ der Anzahl der Würfe vom Erwartungswert abweicht? Vernwende dazu wieder den zentralen Grenzwertsatz.

Hier liegt eine Binomialverteilung vor.

$\begin{eqnarray*} n=450\qquad p=\frac 13\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$

Über das Sigma kann man eine Verbindung zu der Normalverteilung herstellen, sodaß man Formeln und Tabellen für die Normalverteilung verwenden kann.

Das Ergebnis kann man dann auch mit einem Rechner für kumulierte Binomialverteilungen überprüfen.

21.02.2021, 13:14

HAL 9000

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Um den Fehler bei der Normalverteilungsapproximation möglichst gering zu halten, sollte man aber möglichst mit der sogenannten Stetigkeitskorrektur arbeiten. Macht im vorliegenden Fall schon ganz schön was aus, ob man mit 10 oder 10.5 rechnet. (Der von U.Ruhnau empfohlene Vergleich zur exakten Rechnung mit Binomialverteilung zeigt diesen Effekt ebenfalls sehr deutlich.)

EDIT: Zu b) Die Diskretisierung hat bei dieser Frage seltsame Auswirkungen: Wenn man mit der Binomialverteilung genau nachrechnet, dann ist die Bedingung für n=884 erfüllt, für das deutlich größere n=948 jedoch nicht.

[attach]52765[/attach]

21.02.2021, 13:45

yellowman

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Hallo Helferlein, ich bin mir nicht sicher aber wenn ich den Erwartungswert und die Varianz einsetze erhalt ich doch erstmal:

$\begin{eqnarray*} P(a\leq\frac{X-150}{10}\leq b)\approx\Phi(b)-\Phi(a) \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier denn jetzt weiter machen? Ich muss doch erstmal mein a und b bestimmen und danach mithilfe der Normalverteilung etwas berechnen zu können.

LG smile

smile

21.02.2021, 16:54

Helferlein

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Du sollst die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |150-X|\leq 10 \end{eqnarray*}$ betrachten.
Versuch mal das auch in eine Form $\begin{eqnarray*} a \leq \frac{X-150}{10} \leq b \end{eqnarray*}$ zu bringen.

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22.02.2021, 07:38

yellowman

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Hallo Helferlein, ich sollte wohl besser die Wahrscheinlichkeit dazu betrachten.
$\begin{eqnarray*} P(|150-X|\leq 10)=P(-10\leq 150-X\leq 10) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(10\geq X-150\geq -10)=P(1\geq \frac{X-150}{10}\geq -1)=P(|\frac{X-150}{10}|\geq 1) \end{eqnarray*}$ Jetzt kann ich die Gegenwahrscheinlichkeit betrachten:

$\begin{eqnarray*} P(|\frac{X-150}{10}|<1) \end{eqnarray*}$

Muss ich hier nicht irgendwie "clever" abschätzen um das kleiner gleich wieder da rein zu bekommen?

LG smile

smile

22.02.2021, 11:10

Helferlein

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Du machst es Dir verdammt schwer.

$\begin{eqnarray*} |x-150|\leq 10 \Leftrightarrow \frac{|X-150|}{10} \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq \frac{|X-150|}{10} \leq 1 \end{eqnarray*}$

22.02.2021, 11:17

yellowman

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Hallo Helferlein, die Ungleichung lautet doch $\begin{eqnarray*} |150-X|\leq 10 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} |X-150|\leq 10 \end{eqnarray*}$ ... Ich muss doch schon alleine dadurch ein $\begin{eqnarray*} +X \end{eqnarray*}$ rein bekommen. Das geht doch nicht indem ich einfach durch $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ dividiere oder übersehe ich hier etwas?

LG verwirrt

verwirrt

smile

22.02.2021, 11:25

Helferlein

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Das hatte ich jetzt als elementares Wissen angesehen. $\begin{eqnarray*} |150-X|=|-(X-150)|=|X-150| \end{eqnarray*}$
Anschaulicher: Der Abstand von 150 zu X ist genau so groß wie der Abstand von X zu 150.

22.02.2021, 11:59

yellowman

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Ok, dass erklärt so einiges Hammer

Hammer

danke. Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ unb $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ und mit dem zentralen Grenzwertsatz gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(-1\leq\frac{X-150}{100}\leq 1)\approx\phi(1)-\phi(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\Phi(1)-1+\Phi(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\Phi(1)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot 0,84-1=0,68 \end{eqnarray*}$

Das müsste die a) gewesen sein. Wie mache ich das denn bei der b)? Kannst du mir da einen Tipp geben?

LG smile

smile

22.02.2021, 12:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} P(-1\leq\frac{X-150}{100}\leq 1)\approx\phi(1)-\phi(-1) \end{eqnarray*}$

Schreibfehler im Nenner, tatsächlich meinst du $\begin{eqnarray*} P(-1\leq\frac{X-150}{10}\leq 1) \end{eqnarray*}$ .

Mit Stetigkeitskorrektur lautet die Rechnung

$\begin{eqnarray*} P\left(|X-150| \leq 10.5\right) = P\left(-1.05\leq \frac{X-150}{10} \leq 1.05\right) \approx 2\Phi\left(1.05\right)-1\approx 0.706282 \end{eqnarray*}$

eine schon ganz beträchtliche Abweichung zu deinem Wert. Zum Vergleich: Die exakte Rechnung mit Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(450,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ ergibt übrigens

$\begin{eqnarray*} P\left(|X-150| \leq 10\right) = F_X(160)-F_X(139) \approx 0.706317 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. mit Stetigkeitskorrektur ist man DEUTLICH näher am richtigen Ergebnis.

22.02.2021, 12:21

Helferlein

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Versuche zunächst den Text in eine Formel (Wahrscheinlichkeitsungleichung) zu bringen.
Danach solltest Du versuchen diese Formel in die Form des Grenzwertsatze zu bringen.

22.02.2021, 15:24

yellowman

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Zitat:

Original von Helferlein
Versuche zunächst den Text in eine Formel (Wahrscheinlichkeitsungleichung) zu bringen.
Danach solltest Du versuchen diese Formel in die Form des Grenzwertsatze zu bringen.

Ich bin mir absolut nicht sicher. Meine Idee ist $\begin{eqnarray*} P(0,80\leq X-E(X)\leq 0,82) \end{eqnarray*}$ Die Anzahl n ist ja gesucht. Wie gehts denn hier mit dem Grenzwertsatz weiter?

Danke für deine Hilfe! Gott

Gott

smile

22.02.2021, 16:06

Helferlein

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
Die Fragestellung lautet doch:
... damit die Zufallsvariabe X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% um höchstens 2% der Anzahl der Würfe vom Erwartungswert abweicht?

Nehmen wir das mal auseinander:
X weicht vom Erwartungswert ab und zwar um höchstens 2% der Anzahl der Würfe.
Wie kannst Du das als Ungleichung schreiben?

Die Wahrscheinlichkeit hierfür soll mindestens 80% betragen.
Wie sieht dazu die Wahrscheinlichkeitsungleichung aus?

23.02.2021, 10:43

HAL 9000

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Fangen wir doch damit an, die gesuchte unbekannte Anzahl der Würfe mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu benennen. D.h. in a) war $\begin{eqnarray*} n=450 \end{eqnarray*}$ , jetzt ist der Wert zunächst offen.

Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an Fünfen und Sechsen ist auch hier binomialverteilt, und zwar $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(n,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ . Zugehörig haben wir $\begin{eqnarray*} E(X)=np=\frac{n}{3} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V(X)=np(1-p) = \frac{2n}{9} \end{eqnarray*}$ .

Kommen wir zu der Frage, wie das hier

Zitat:

Original von yellowman
b) Wie oft muss der Würfel mindesten geworfen werden, damit die Zufallsvariabe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% um höchstens 2% der Anzahl der Würfe vom Erwartungswert abweicht?

in eine Ungleichung umzusetzen ist: $\begin{eqnarray*} P\left( \left|X-E(X)\right|~{\color{red}\leq 0.02n}\right)~{\color{blue}\geq 0.8} \end{eqnarray*}$ (*)

P.S.: Sorry Helferlein, ich weiß dass du yellowman motivieren wolltest, das selbst rauszufinden. Aber irgendwie war der Versuch oben soweit daneben, vielleicht hilft dann doch nur eine erläuterte Nennung als Augenöffner.

23.02.2021, 15:58

yellowman

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Danke, ich denke da wäre ich so nicht drauf gekommen. Wenn $\begin{eqnarray*} E(x)=\frac{n}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(x)=\frac{2n}{9} \end{eqnarray*}$ ist dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} P(\frac{-0,02n}{\sqrt{\frac{2n}{9}}}\leq\frac{X-E(x)}{\sqrt{Var(x)}}\leq\frac{0,02n}{\sqrt{\frac{2n}{9}}})\geq 0,8 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das weiter vereinache komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} P(\frac{-0,06n}{\sqrt{2n}}\leq\frac{X-E(x)}{\sqrt{Var(x)}}\leq\frac{0,06n}{\sqrt{2n}})\geq 0,8 \end{eqnarray*}$

Mit dem ZGWS gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \approx \Phi(\frac{0,06n}{\sqrt{2n}})-\Phi(\frac{-0,06n}{\sqrt{2n}})\geq 0,8 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich noch in der Tabelle nachschauen

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(\frac{0,06n}{\sqrt{2n}})-1\geq 0,8 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich noch in der Tabelle nachschauen für welche $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ds gilt und kann damit dann das n bestimmen?
Kann ich das so machen?

Vielen Dank euch! Hammer

Hammer

23.02.2021, 16:38

HAL 9000

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Ja, das ist die Idee. Freude

Freude

Eigentlich wäre auch hier wünschenswert, wenn man mit Stetigkeitskorrektur die Genauigkeit verbessern könnte (wie es bei a) ja so gut gelungen war, auch wenn es von dir ignoriert wurde). Allerdings ist das hier nahezu ein Ding der Unmöglichkeit, das für variables $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu bewältigen:

$\begin{eqnarray*} P\left(\left|X-E(X)\right|\leq 0.02n\right) = P\left(\left|X-\frac{n}{3}\right|\leq 0.02n\right) \end{eqnarray*}$ kann man umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{n}{3}-0.02n\leq X\leq \frac{n}{3}+0.02n\right) = P\left(\frac{47n}{150}\leq X\leq \frac{53n}{150}\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Diese Grenzen $\begin{eqnarray*} \frac{47n}{150} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{53n}{150} \end{eqnarray*}$ liegen für variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal näher und mal ferner von der nächsten ganzen Zahl, so dass es aussichtslos ist, mit einfachen (!) Termen eine für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einheitliche Stetigkeitskorrektur durchzuführen. Das Ergebnis ist das oben dargestellte bizarre Verhalten der blau eingezeichneten tatsächlichen Binomialwahrscheinlichkeiten (*), gegenübergestellt die rotbraun eingezeichnete Kurve gemäß Normalverteilungsapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur).

23.02.2021, 16:54

yellowman

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Danke für deine Hilfe. ich komme dann erstmal auf $\begin{eqnarray*} \Phi\geq 0,9 \end{eqnarray*}$ . Es ist angegeben das für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0,9)=1,28 \end{eqnarray*}$ somit muss $\begin{eqnarray*} 1,28=\frax{0,06n}{\sqrt{2n}} \end{eqnarray*}$

Dann erhalt ich für $\begin{eqnarray*} n=910,22 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 911 \end{eqnarray*}$ mal muss mindestens gewürfelt werden.
Ich hoffe das passt jetzt.

Vielen Dank euch!

23.02.2021, 17:02

HAL 9000

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Du arbeitest da mit ziemlich ungenauen Quantilwerten, denn tatsächlich erhält man $\begin{eqnarray*} n\geq 912.43 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n\geq 913 \end{eqnarray*}$ .

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Wir fragen nach der Wurfanzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P\left(\left|X-E(X)\right|\leq 0.02n\right) = P\left(\left|X-\frac{n}{3}\right|\leq 0.02n\right)\geq 0.8 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. (*)

Diese Frage hat genau genommen drei Antworten:

1) Die Normalverteilungsapproximation liefert $\begin{eqnarray*} n\geq 913 \end{eqnarray*}$ , siehe oben.

2) Die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , für die (*) erfüllt ist, ist $\begin{eqnarray*} n=884 \end{eqnarray*}$ . Wohlgemerkt bei exakter Rechnung mit der Binomialverteilung.

3) Sucht man hingegen die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass (*) für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, so ist $\begin{eqnarray*} n_0=949 \end{eqnarray*}$ zu nennen.

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