Beweis für lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren

23.02.2021, 17:38	sam2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren Meine Frage: Hallo, ich möchte zeigen, dass Punkte X,P und Q im R^2 auf einer Geraden liegen. Meine Ideen: Ich muss ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \vec{XP} = \lambda \vec{PQ} \end{eqnarray}$ Ich weiß aus der Geometrie, dass $\begin{eqnarray} \vec{XP} = \vec{XB} + \vec{BP} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{PQ} = \vec{BQ} - \vec{BP} \end{eqnarray}$ Bringt mir das schon etwas?
23.02.2021, 18:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Voraussetzung an die drei Punkte wird das nicht gelingen. Wie lautet denn die Originalaufgabe?
23.02.2021, 18:20	sam2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einen Kreis und vier Punkte A,B,C,D darauf. Es ist $\begin{eqnarray} \vec{AB} \cap \vec{CD} = \{P\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC} \cap \vec{BD} = \{Q\} \end{eqnarray}$ . Der Schnittpunkt der Tangenten von A und von D ist X. Jetzt soll ich eben zeigen, dass X,P,Q auf einer Geraden liegen..
26.02.2021, 11:12	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
@sam2000, wenn ich Deine Angabe richtig verstanden habe, müßte die Situation so aussehen wie auf dem Bild: [attach]52785[/attach] Ich habe mal begonnen, einige Winkel zu markieren, Ansatz habe ich aber noch keinen.
27.02.2021, 13:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses interessante Problem auf analytischem Wege zu knacken, dürfte ziemlich rechenintensiv sein. Ein interessanter Aspekt ergibt sich noch durch eine Erweiterung: [attach]52789[/attach] Zieht man in allen 4 Eckpunkten des Sehnenviereckes die Tangenten, so schneiden die Diagonalen des entstehenden Tangentenviereckes einander ebenfalls in dem Schnittpunkt der Diagonalen des Sehnenviereckes. Der Punkt X wurde in S umbenannt. Es entstehen die Geraden PQS (dass Q auf PS liegt, ist zu beweisen) und analog dazu EQF. Nebenbei liegen die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenviereckes ebenfalls auf den o.a. Geraden. Ob das zur Lösungsfindung beitragen könnte, kann man vermutlich erst durch weitere Überlegungen beurteilen. mY+
27.02.2021, 16:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe hier, insbesondere ab Seite 22, Abschnitt 11, speziell 11.4
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27.02.2021, 21:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist recht aufschlussreich! Somit könnte der gesuchte Beweis anstatt mit dem Sehnenviereck mit dem Tangentenviereck geführt werden ... Wie das mit der l. A. von Vektoren gehen soll, weiß ich allerdings (noch) nicht. Oder es stimmt der Thementitel nicht und er wäre entsprechend zu ändern ... mY+
28.02.2021, 19:57	quadrierer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild von mYthos ist hier noch etwas vervollständigt und lässt so bei diesem Kohärenz-System die Symmetrie bezüglich der Geraden HSFJ und ESGK noch deutlicher hervortreten. [attach]52796[/attach] Summen gegenüberliegender Aussenseiten (Tangentenviereck) sind gleich gross. \|EF\|+\|HG\| = \|EH\| + \|FG\| Beweis, siehe gestrichelte Linien oder auch www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/vie! Produkt der Innensehnen = Summe der Produkte der Aussensehnen \|AC\|\|BD\| = \|AD\|\|BC\| + \|AB\| * \|CD\|

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