Menge aller Mengen

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Marie2021 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge aller Mengen
Meine Frage:
Kann eine Menge aller Mengen theoretisch existieren? Also wirklich eine Menge die alle Mengen enthält.

Meine Ideen:
Ich denke nicht, da die Menge zur ihrer Potenzmenge gleichmächtig sein müsste und dies ein Widerspruch wäre, bin aber auch nicht sonderlich vertraut mit der Materie ist eher eine Interessensfrage
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Mengen
https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie

https://de.wikipedia.org/wiki/Allklasse
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "theoretisch" ? Wenn es eine Menge aller Mengen gäbe, so wäre sie eindeutig bestimmt, es wäre also nicht eine Menge aller Mengen sondern die Menge aller Mengen. De Menge aller Mengen existiert nicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Allklasse
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welcher Eigenschaft?

Um Begriffe zu definieren, brauchst du ein "Kategorie" zum Einordnen, und eine "Eigenschaft" zum klassifizieren/abzugrenzen.

Solche Definitionen können durchaus widersprüchlich sein und sind dann zu verwerfen (siehe Antinomien).
Hier handelt es sich aber nicht um eine Definition in diesem Sinne.

Wenn man solche Art von Definitionen beachtet, dann macht der "Mengenbegriff" durchaus Sinn.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Mengen
Zitat:
Original von Marie2021
Meine Frage:
Kann eine Menge aller Mengen theoretisch existieren? Also wirklich eine Menge die alle Mengen enthält.

Unter der Annahme der Existenz von Universen bildet die Gesamtheit aller "kleinen" Mengen eine Menge (die selbst wiederum nicht klein ist).
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist das Folgende wohl zu naiv gedacht? (Ich schäme mich a priori schon mal ein bißchen... Augenzwinkern )

Angenommen, ich kenne alle Mengen. Nun bilde ich eine neue Menge, die alle bis dahin bekannten Mengen als Elemente enthält. Und schon ist eine neue Menge geboren, die nun auch zu "alle Mengen" gehören müßte. Ich könnte nun eine neue "Allmutter-Menge" bilden. Das könnte ich ewig so weiter machen. Es kann also keine "umfassendste Menge" geben... verwirrt
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Würde eine Menge aller Mengen als Menge existieren, dann könnte man über das Separationsschema einen logischen Widerspruch erzeugen (Russellsche Antinomie, wie bereits erwähnt). Separation besagt im wesentlichen: Für jedes logische Prädikat und jede Menge existiert die Menge aller , für die gilt.

Es gibt Grundlagentheorien mit universellen Mengen, hierfür muss man aber das Separationsschema einschränken, was für die mathematische Praxis eher unnatürlich erscheint oder nicht zweckmäßig ist.

Um dennoch großen Gesamtheiten einen Status als ontologische Objekte zuschreiben zu können (Menge/Kategorie der Mengen, Gruppen, topologischen Räume...) ist es ausreichend, ZF(C)+Universen als Grundlage anzunehmen. Das entspricht der gängigen Praxis, wenn auch nicht immer explizit erwähnt...
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