Eigenvektoren in Abhängigkeit von Basis |
| 15.03.2021, 13:33 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenvektoren in Abhängigkeit von Basis Hallo, Meine Frage ist: Angenommen wir haben eine lineare Abbildung T, mit Eigenvektoren v1, v2 und v3. Weiter sei die Matrix A die zu T darstellende Matrix, geschrieben in einer Basis B=(b1,b2,b3) im Defintionsraum und B im Zielraum. 1.)st es nun so, wenn ich die Eigenvektoren von A berechne, ich diese in Abhängigkeit der Basis B herausbekomme? 2.)Wenn nun (lamda1,lamda2,lamda3) und (mhü1,mhü2,mhü3), (chi1,chi2,chi3) meine Eigenvektoren von A in der Basis B sind, dann erhalte ich mit: v1:=lamda1*b1+lamda2*b2+lamda3*b3 und v2:=mhü1*b1+mhü2*b2+mhü3*b3 und v3:=chi1*b1+chi2*b2+chi3*b3 auch die Eigenvektoren meiner ursprünglichen Abbildung T? Also hier habe ich dann sozusagen meine Eigenvektoren v1, v2 und v3 nicht mit T sondern hintenrum über A berechnet. 3.) Falls 1.) und 2.) stimmen, dann lohnt es sich doch immer für eine lineare Abbildung T, diese in eine Matrixdarstellung zu bringen und von DIESER die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen, als mit T? Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: keine Ideen |
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| 15.03.2021, 14:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du die Eigenvektoren von T hast, musst du sie nicht berechnen. Wenn du sie berechnen möchtest, dann machst du das über die Darstellungsmatrix zur Basis B. Die Eigenwerte lambda sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Die Eigenvektoren liegen im Kern von A-lambda E, selbstverständlich berechnet man sie als Komponentenvektoren zur Basis B. |
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| 15.03.2021, 14:30 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Elvis, Danke für deine Antwort! Aber wäre es möglich, dass du konkret auf die Fragen eingehst und zu jeder Einzelnen schreibst wahr/falsch? Das würde mir mehr helfen. Vielen Dank im Voraus! Liebe Grüße Marko |
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| 15.03.2021, 15:32 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
wahr, wahr, wahr |
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| 15.03.2021, 16:31 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, super! Vielen Dank Elvis! Liebe Grüße Marko |
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| 15.03.2021, 18:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Leider habe ich bei der letzten Antwort einen Fehler gemacht, weil ich nicht auf meine erste Antwort geachtet habe. 1. wahr 2. wahr 3. falsch Grund: aus wahren Aussagen 1. und 2. folgt nicht notwendig eine wahre Aussage 3. Es lohnt sich nur in speziellen Fällen, eine Basis B und eine Darstellungsmatrix A für eine lineare Abbildung T zu suchen und daraus Eigenvektoren zu berechnen. Für den -Vektorraum lohnt es sich nicht, weil man keine Basis kennt. Ist dabei T die Identität, lohnt es sich nie, denn der ganze Vektorraum ist ein Eigenraum zum Eigenwert 1. Wenn eine lineare Abbildung T keine Eigenvektoren hat, dann lohnt es sich auch nicht, zu rechnen. Genauso, wie ich schon gesagt habe, lohnt sich rechnen nicht, wenn die Eigenvektoren bereits bekannt sind. |
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| 16.03.2021, 09:56 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Elvis, ok, vielen Dank! Liebe Grüße Marko |
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