Konstruiertes Berechnen für Dreieck

22.03.2021, 11:20

quadrierer

Konstruiertes Berechnen für Dreieck

Bei einem beliebigen Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C und den Seiten a, b, c ist die Seite c die Summe aus zweier Teilstrecken $\begin{eqnarray*} c_{a}=|AF| und c_{b}=|FB|, \end{eqnarray*}$ womit gilt c=|AF|+|FB|. Auf einer durch die Punkte A und B gelegten Geraden kann der Teilungspunkt F frei bewegt werden.

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Für den Zustand einer Symmetrie mit der Gleichheit $\begin{eqnarray*} b-c_{b} = a - c_{a} \end{eqnarray*}$ ist die passende Grösse $\begin{eqnarray*} c_{a}=c-c_{b} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c_{b} = c-c_{a} \end{eqnarray*}$ zu berechnen?

Fragen:

Ist hier ein exaktes Berechnen durch ein klassisch elementar nachvollziehbares Konstruieren und Darstellen der gesuchten Strecken $\begin{eqnarray*} c_{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{b} \end{eqnarray*}$ mit nur endlich vielen Schritten möglich?

a) Wenn ja, ist mit einer klassisch konstruierten Sequenz von zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten zu zeigen, dass es hier einen exakten und keinen genäherten Rechengang (Lösungszusammenhang) gibt?

b) Wenn nein, ist anhand einer klassisch konstruierten Sequenz von zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten zu zeigen, dass es keinen exakten und nur einen genäherten Rechengang (Lösungszusammenhang) geben kann?

22.03.2021, 13:14

HAL 9000

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Ganz einfach: Man konstruiert den Inkreis des Dreiecks ABC. Der Berührungspunkt dieses Inkreises mit der Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} c_b = |AF|=s-a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c_a = |BF| = s-b \end{eqnarray*}$ ergeben $\begin{eqnarray*} a-c_a = a+b-s = b-c_b \end{eqnarray*}$ , dabei meine ich wie üblich $\begin{eqnarray*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich hatte mich an der Skizze orientiert, wo $\begin{eqnarray*} c_b = |AF| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_a=|BF| \end{eqnarray*}$ ist.

Im Begleittext ist es nun gerade umgedreht, d.h. $\begin{eqnarray*} c_a = |AF| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_b=|BF| \end{eqnarray*}$ . Auch kein Beinbruch, aber in dem Fall ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nicht der Berührungspunkt des Inkreises, sondern desjenigen Ankreises vom Dreieck ABC, welcher die Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ berührt.

22.03.2021, 20:50

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ganz einfach: Man konstruiert den Inkreis des Dreiecks ABC. Der Berührungspunkt dieses Inkreises mit der Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ :
.

Eine interessante Lösung. Schön wäre nun noch ein elementar konstruiertes Bild mit dem der Lösungszusammenhang (Rechengang) als exakt zutreffend nachvollzogen werden kann.

22.03.2021, 21:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Schön wäre nun noch ein elementar konstruiertes Bild mit dem der Lösungszusammenhang (Rechengang) als exakt zutreffend nachvollzogen werden kann.

Dann mach das doch selber, das wesentliche steht doch da. Jetzt alles bis ins kleinste runterzubrechen, bis du zufrieden bist, ist mir echt zu öde (zumal ich mich an dein komisches Geometriesprech nicht gewöhnen kann).

Bring außerdem besser deinen Aufgabentext in Verbindung mit der Skizze in Ordnung, bevor du hier Forderungen stellst. Augenzwinkern

23.03.2021, 10:28

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000

Bring außerdem besser deinen Aufgabentext in Verbindung mit der Skizze in Ordnung, bevor du hier Forderungen stellst. Augenzwinkern

Dein Wunsch kann erfüllt werden.
Bei einem beliebigen Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C und den Seiten a, b, c ist die Seite c die Summe aus zweier Teilstrecken $\begin{eqnarray*} c_b=|AF| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_a =|FB| \end{eqnarray*}$ , womit gilt c=|AF|+|FB|.
Folgendes Bild kann ich anbieten:
Bitte anklicken!

[attach]52887[/attach]

Ursprünglich habe hier auch noch mindestens an eine andere gut nachvollziehbare Lösung ohne Innenkreis gedacht.

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