Das Induktionsaxiom

24.03.2021, 11:01

MaPalui

Das Induktionsaxiom

Hallo ihr Lieben,

mir macht gerade das Induktionsaxiom zu schaffen.
Wir haben das folgendermaßen formalisiert. (Wir beginnen bei 1 und n' sei der Nachfolger)
$\begin{eqnarray*} \forall X : (1\in X \land \forall n (n\in\mathbb N \Rightarrow (n\in X\Rightarrow n'\in X))\Rightarrow \mathbb N\subset X) \end{eqnarray*}$ .

Nun, es soll ja sicherstellen, dass die Natürlichen Zahlen eine "Kette" bilden.

Ich habe nun folgendes Gegenbeispiel gefunden:
$\begin{eqnarray*} X = \lbrace 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2},...\rbrace \end{eqnarray*}$ .

Aber das Axiom ist doch damit erfüllt. Die 1 ist drin und für jede natürliche Zahl auch der Nachfolger und die Natürlichen Zahlen sind Teilmenger von X.

Warum ist die Menge X denn ein Gegenbeispiel für das Axiom? verwirrt

24.03.2021, 11:14

Elvis

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RE: Das Induktionsaxiom

Zitat:

Original von MaPalui
Warum ist die Menge X denn ein Gegenbeispiel für das Axiom? verwirrt

Das ist kein Gegenbeispiel, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb N\subset X \end{eqnarray*}$ .

24.03.2021, 11:16

MaPalui

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Und genau daran hänge ich, Elvis.
ich bin diesem Beitrag hier gefolgt.
Vielleicht verstehe ich den auch falsch, aber es sollte doch zeigen, dass die von mir angegebene Menge X kein Kandidat für die Natürlichen Zahlen ist.

24.03.2021, 11:20

zweiundvierzig

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RE: Das Induktionsaxiom

Zitat:

Original von MaPalui
Nun, es soll ja sicherstellen, dass die Natürlichen Zahlen eine "Kette" bilden.

Wie meinst Du das? Für mich ist eine Kette eine totalgeordnete Teilmenge einer partiellen Ordnung. Es stimmt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Ordnung eine Totalordnung ist.

Zitat:

Original von MaPalui
Warum ist die Menge X denn ein Gegenbeispiel für das Axiom? verwirrt

Inwiefern soll das zutreffen? Sowohl Antezedens als auch Konsequenz der Implikation sind erfüllt.

Edit: Da war ich mit dem Posting hinterher. Der Punkt ist, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die kleinste induktive Menge ist.

24.03.2021, 11:22

MaPalui

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Verstehe ich es denn vollkommen falsch dass mir das Axiom sagen soll, dass eine Menge wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gar nicht erst die Natürlichen Zahlen sein kann?

24.03.2021, 11:26

zweiundvierzig

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Verbalisiert lautet das Axiom: Jede Menge, die die 0 enthält und unter Nachfolgerbildung abgeschlossen ist, enthält die natürlichen Zahlen.

Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthält die 0 und ist unter Nachfolgerbildung abgeschlossen.

Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die bzgl. Inklusion kleinste Menge mit dieser Eigenschaft.

24.03.2021, 11:33

MaPalui

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Ich verstehe leider nicht, warum die Natürlichen Zahlen nicht die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein sollen.
Die ersten vier Peano-Axiome sind ja erfüllt, also muss das fünfte doch ausschließen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen bildet. verwirrt

24.03.2021, 11:35

zweiundvierzig

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Sicher, $\begin{eqnarray*} X = \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist erlaubt ( $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ bedeutet hier $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ , fallst das das Problem ist).

24.03.2021, 11:38

MaPalui

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Ich denke ich bin einen Schritt weiter.
Das Axiom sagt nicht aus "Eine Menge die..."
sondern
"Jede Menge, die..."

Also könnte ich aus meiner oben gebildeten Menge auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ entfernen und die entstehende Menge $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ erfüllt das Axiom immer noch.

24.03.2021, 11:42

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von MaPalui
die entstehende Menge $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ erfüllt das Axiom immer noch.

Nicht das Axiom, sondern das Antezedens der Implikation.

Zitat:

Original von MaPalui
Das Axiom sagt nicht aus "Eine Menge die..."
sondern
"Jede Menge, die..."

"Eine Rose, die blüht, ist rot" und "Jede Rose, die blüht, ist rot" sind für mich gleichbedeutend.

24.03.2021, 11:44

MaPalui

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von MaPalui
die entstehende Menge $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ erfüllt das Axiom immer noch.

Nicht das Axiom, sondern das Antezedens der Implikation.

Aber es enthält doch immernoch die natürlichen Zahlen?

24.03.2021, 11:54

zweiundvierzig

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Was enthält die natürlichen Zahlen?

Das Axiom hat die Form $\begin{eqnarray*} \forall X(\varphi(X) \Rightarrow \mathbb N \subseteq X) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi(X) \end{eqnarray*}$ besagt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die 0 enthält und abgeschlossen ist ggü. Nachfolgerbildung der natürlichen Zahlen. M.a.W. ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die kleinste Menge im Universum, welche die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ erfüllt.

24.03.2021, 11:57

MaPalui

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Ich muss mal gerade eine Runde spazieren gehen. Mich macht sowas immer ziemlich mürbe und dann versteife ich mich zu sehr darauf, jetzt schon wieder seit 9:30 unglücklich

Ich will mich erstmal vielmals für eure Zeit bedanken und würde gerne wieder in diesen Thread zurückkommen smile

Viele Grüße
Maren

24.03.2021, 11:59

zweiundvierzig

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Frohes Spazierengehen. smile

24.03.2021, 12:49

Huggy

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Zitat:

Original von MaPalui
Ich verstehe leider nicht, warum die Natürlichen Zahlen nicht die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein sollen.
Die ersten vier Peano-Axiome sind ja erfüllt, also muss das fünfte doch ausschließen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen bildet. verwirrt

Kann es sein, dass deine Verwirrung aus einer Vermengung der Struktur der natürlichen Zahlen mit ihren üblichen Bezeichnungen rührt?

Wenn man die natürlichen Zahlen mit der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ beginnen lässt, hat man aus den Peanoaxiomen zunächst mal die natürlichen Zahlen

$\begin{eqnarray*} (1, 1', 1'', \ldots) \end{eqnarray*}$

Nun definiert man üblicherweise

$\begin{eqnarray*} 1':=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1''=2':=3 \end{eqnarray*}$

usw.

Mit deiner Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ möchtest du aber offensichtlich setzen

$\begin{eqnarray*} 1':= \frac 3 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1''=\left (\frac 3 2\right) ' := 2 \end{eqnarray*}$

Das kann man natürlich machen und dann ist deine Menge tatsächlich identisch mit der Menge der natürlichen Zahlen nur mit anderen Bezeichnungen. Mit anderen Worten, die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind isomorph.

24.03.2021, 15:33

Finn_

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Vor einer Weile habe ich mal ein paar Folien dazu gemacht,

Die Peano-Axiome: Die natürlichen Zahlen als dynamisches System.

24.03.2021, 17:32

Luftikus

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Mir erschliesst sich nicht ganz der Sinn, ein formal-abstraktes Konstrukt mathematischer Logik in einem konkreten, diskreten dynamischen Modell zu modellieren. Was hat man damit gewonnen?

24.03.2021, 18:26

Finn_

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Vom minimalistischen Standpunkt aus gesehen nichts. Das dient lediglich der Anschauung.

Konkret sieht das für mich nicht aus. Man betrachtet ja alle möglichen diskreten dynamischen Systeme und schließt sukzessive die ungewünschten Strukturen aus.

30.03.2021, 12:48

MaPalui

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Hallo ihr lieben,

bitte entschuldigt meine längere Abwesenheit.
Ich danke euch für all eure Hilfe, dass hat es mir auch etwas klarer gemacht. Mein Problem war das ich dachte, mit dem Induktionsaxiom könnte ich eine bestimmte Menge X als Modell der Natürlichen Zahlen ausschließen. Aber ich muss ja alle X betrachten, die das erfüllen.

Ich habe nun oft gelesen, dass das Induktionsaxiom verhindert, dass die Natürlichen Zahlen aus zwei Strängen bestehen. Beispielsweise

$\begin{eqnarray*} 1\rightarrow 1'\rightarrow 1''\rightarrow 1''' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\rightarrow 2'\rightarrow 2''... \end{eqnarray*}$

Das hat sich mir leider noch nicht ganz erschlossen wie man nun ausgerechnet an "Zwei Stränge" denkt.

30.03.2021, 13:53

Elvis

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Das ist leicht zu verstehen. Die natürlichen Zahlen bestehen "aus einem Strang", das ist entscheidend weniger als "mehr als ein Strang", also 2, 3, 4, 5, 5549561590 oder noch mehr "Stränge".

30.03.2021, 14:54

MaPalui

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Aber warum sorgt gerade das Induktionsaxiom dafür, dass sie "aus einem Strang" bestehen? verwirrt

30.03.2021, 17:54

Huggy

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P1 bis P4 definieren einen Zahlenstrang $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Alle Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sind nach P1 bis P4 natürliche Zahlen, also $\begin{eqnarray*} S \subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Das schließt nicht aus, dass es auch außerhalb von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ noch natürliche Zahlen gibt in Form eines oder mehrerer Parallelstränge. Die möglichen Formen dieser Parallelstränge hat Finn_ in einer seiner Folien erläutert.

Sei nun $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ eine Menge, die aus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ vereinigt mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ solcher Parallelstränge besteht. Nach P5 gilt dann $\begin{eqnarray*} N \subseteq X_n \end{eqnarray*}$ . Jetzt lassen wir einen der Parallelstränge weg. Es verbleibt die Menge $\begin{eqnarray*} X_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Nach P5 gilt auch $\begin{eqnarray*} N \subseteq X_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet aber, die Elemente des weggelassenen Teilstrangs können nicht Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein. Lässt man sukzessive weitere Parallelstränge weg, was zu Mengen $\begin{eqnarray*} X_{i<n} \end{eqnarray*}$ führt, so gilt nach P5 $\begin{eqnarray*} N \subseteq X_i \end{eqnarray*}$ . Schließlich landet man bei $\begin{eqnarray*} X_0=S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \subseteq X_0=S \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also $\begin{eqnarray*} S \subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subseteq S \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathbb N = S \end{eqnarray*}$ .

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