Vektor parallel zu einer gegebenen Ebene drehen

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Tschismo Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor parallel zu einer gegebenen Ebene drehen
Hallo,

kann mir bitte jemand bei folgendem Problem helfen: Ich habe einen dreidimensionalen Vektor (x/y/z) und möchte diesen um eine gegebene Achse (u/v/w) so lange drehen, bis er parallel zu einer gegebenen Ebene ist. Die Ebene entspricht hierbei der x-z-Ebene des kartesischen Koordinatensystems.

Mit anderen Worten: Der Vektor soll so lange gedreht werden, bis seine y-Komponente 0 ist, er also parallel zur x-z Ebene liegt. Hierbei möchte ich den Winkel berechnen, um wie viele Grad gedreht werden muss.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor parallel zu einer gegebenen Ebene drehen
Du hast Deine Anfrage sehr allgemein gehalten. Besser wäre ein konkretes Zahlenbeispiel. Aber vielleicht helfen Dir die Antworten, die ich schon mal auf eine ähnliche Anfrage bekommen habe.

Drehmatrix zum Drehvektor berechnen

Brauchbar sind die finalen Antworten von Luftikus und Ehos.
Tschismo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Ich versuche es ein bisschen besser zu erklären. Mir ist klar, wie man eine Drehmatrix erstellt um einen Vektor um eine beliebige Achse zu drehen. Der Vektor, welcher gedreht werden soll und die Drehachse, um die gedreht werden soll sind in meinem Beispiel vorgegeben. Für das Erstellen der Drehmatrix muss ich nur noch einen Winkel angeben. Die Frage ist nun, wie groß muss der Winkel sein (wie weit muss ich drehen), damit am Ende der Drehung (Multiplikation des Vektors mit der Matrix) folgende Bedingung gilt: Die y-Komponente des Vektors soll nach der Drehung 0 sein.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wenn der Vektor r = (x,y,z) gedreht wird, bewegt er sich auf einer Ebene, die senkrecht auf der Drehachse (u,v,w) steht. Diese Ebene wird also beschrieben durch die Normalenform:

u*x + v*y + w*z = 0

Diese Ebene schneidet die xz-Ebene entlang der Geraden:

g: (x,y,z) = t * (-w/u, 0, 1)

mit dem freien Parameter t.

Gesucht ist der Drehwinkel bei dem der Vektor r auf dieser Geraden landet. Die Spitze des gedrehten Vektors liegt also auf der obigen Geraden und hat den Abstand |r| vom Ursprung. Dies ist der Fall für t = |r| / sqrt(1+w²/u²). Hiermit kannst du den gedrehten Vektor r' ausrechnen. Der Drehwinkel ergibt sich dann über das Skalarprodukt:



Viele Grüße,
Nils

P.S.: Es ergibt sich natürlich noch eine zweite Lösung mit t = - |r| / sqrt(1+w²/u²). Der Drehwinkel, der sich hieraus ergibt, unterscheidet sich dann um 180° von der ersten Lösung.
Tschismo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Das hat mir schon sehr geholfen! Allerdings verstehe ich noch nicht alles.

(1) Der Gedanke, dass der Vektor auf einer Ebene rotiert und wenn ich die Schnittgerade dieser Ebene mit der xz-Ebene berechne ich damit den gedrehten Vektor berechnen kann und anschliessend durch das Skalarprodukt den gesuchten Winkel erhalte, leuchtet mir ein!
(2) Mir ist nicht ganz klar, wie du auf die Ebenengleichung u*x + v*y + w*z = 0 kommst. Wenn ich versuche, anhand des Ortsvektors r und der Normalen n die Ebene zu bestimmen, komme ich auf folgende Formel:
(3) Des weiteren weiss ich nicht, wie du die Schnittgerade der 2 Ebenen berechnest
xb Auf diesen Beitrag antworten »



Für y=0 bekommt man





das ist eine lineare Funktion in der x-z Ebene und
scheint mir etwas einfacher zu sein als die Vektordarstellung
 
 
xb Auf diesen Beitrag antworten »

edit
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tschismo,

zunächst muss ich meine Antwort von oben leider etwas korrigieren. Dass der Vektor r auf einer Ebene rotiert, stimmt natürlich nur, wenn r senkrecht auf der Drehachse steht. Im Allgemeinen rotiert der Vektor aber auf einem Kegelmantel! Das Vorgehen ist dann aber ähnlich: man bestimmt die Schnittgerade zwischen Kegel und xz-Ebene, und dann (falls die Schnittgerade überhaupt existiert) den gedrehten Vektor r' und daraus dann den Drehwinkel.

Zitat:
Original von Tschismo
(2) Mir ist nicht ganz klar, wie du auf die Ebenengleichung u*x + v*y + w*z = 0 kommst.


Wie gesagt bin ich davon ausgegangen, dass der Vektor r senkrecht auf der Drehachse liegt. Außerdem liegen sowohl die Anfangspunkte von r als auch von der Drehachse im Ursprung. Daraus folgt, dass die besagte Ebene ebenfalls durch den Ursprung geht und es folgt die obige Normalengleichung.

Zitat:
Original von Tschismo
(3) Des weiteren weiss ich nicht, wie du die Schnittgerade der 2 Ebenen berechnest


Siehe die Antwort von xb mit der Substitution t := z.

Viele Grüße,
Nils
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nils Hoppenstedt
Wie gesagt bin ich davon ausgegangen, dass der Vektor r senkrecht auf der Drehachse liegt. Außerdem liegen sowohl die Anfangspunkte von r als auch von der Drehachse im Ursprung. Daraus folgt, dass die besagte Ebene ebenfalls durch den Ursprung geht und es folgt die obige Normalengleichung.


In der Überschrift heißt es
Vektor parallel zu einer gegebenen Ebene drehen

Das heißt doch senkrecht zum Normalenvektor der Ebene und damit senkrecht zum Drehvektor. Oder?
Außerdem ist es Schulmathematik Geometrie

Natürlich wäre es besser wenn die Vektoren bekannt wären
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xb
In der Überschrift heißt es
Vektor parallel zu einer gegebenen Ebene drehen
Das heißt doch senkrecht zum Normalenvektor der Ebene und damit senkrecht zum Drehvektor. Oder?
Außerdem ist es Schulmathematik Geometrie


Ich hab das so verstanden, dass der Vektor am Ende der Drehung parallel zu einer gegebenen Ebene stehen soll. Darüber wie der Vektor und die Drehachse zu einander stehen, ist nichts weiter gesagt, sie können also auch einen beliebigen Winkel einschließen. Aber vielleicht kann Tschismo das nochmal näher erläutern.

Viele Grüße,
Nils
Tschismo Auf diesen Beitrag antworten »

>>Ich hab das so verstanden, dass der Vektor am Ende der Drehung parallel zu einer gegebenen Ebene stehen soll.

Das ist richtig! Nach der Drehung soll der Vektor parallel zur xz-Ebene sein.


>> stimmt natürlich nur, wenn r senkrecht auf der Drehachse steht.

Der Vektor r steht senkrecht auf der Drehachse. Das hatte ich vergessen anzugeben.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tschismo
>>Ich hab das so verstanden, dass der Vektor am Ende der Drehung parallel zu einer gegebenen Ebene stehen soll.

Das ist richtig! Nach der Drehung soll der Vektor parallel zur xz-Ebene sein.


>> stimmt natürlich nur, wenn r senkrecht auf der Drehachse steht.

Der Vektor r steht senkrecht auf der Drehachse. Das hatte ich vergessen anzugeben.


Ah, ok. Dann sind wir ja durch.

- Nils
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