Koordinatentransformation in Ableitungen

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trusty Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation in Ableitungen
Ich bin in einer Aufgabe mit physikalischem Bezug gerade etwas aufgeschmissen. Das Fach ist an meiner Uni eins für Erstsemester; das führt dazu, dass wir gerade die ersten Schritte mit Koordinatentransformationen lernen, während in diesem Fach schon umfassende Kenntnis vorausgesetzt wird. Also schon mal vorab Entschuldigung, falls die Frage dumm ist.

Für einen konstanten Wärmestrom bei stationärer Wärmeleitung gilt



Für ein konstantes k ist dann in Zylinderkoordinaten



und in Kugelkoordinaten



Aber wie leite ich die transformierten Varianten her? Ich habe bis jetzt immer nur Volumenintegrale koordinatentransformiert, da habe ich dann die Jacobi-Matrix aufgestellt und die Determinante verwendet. Das bekomme ich hin, det(J) = r für Zylinderkoordinaten und det(J) = r² cos(psi) für Kugelkoordinaten. Mir fällt auch auf, dass hier r bzw. r² in den Formeln stehen; ansonsten könnte außerhalb von d/dr(...) wegen der 0 auf der anderen Seite mal alles mögliche gestanden haben, z. B. kann das 1/r bei den Zylinderkoordinaten auch weggelassen werden.

(Ausprobierter Ansatz (Zylinderkoordinaten):



aber dr/dx ist nicht r und ich will r * dT/dr.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation in Ableitungen
Für ein nicht von der Zeit abhängiges Temperaturfeld lautet die Wärmeleitungsgleichung in kartesischen Koordinaten



ist der Laplaceoperator. Nur im 1-dimensionalen Fall vereinfacht sich das zu:

Zitat:
Original von trusty

Für die Umrechnung in krummlinige Koordinatensysteme ist aber der allgemeine Fall zu betrachten. 1-dimensional gibt es keine krummlinigen Koordinaten.

Zitat:
(Ausprobierter Ansatz (Zylinderkoordinaten):



aber dr/dx ist nicht r und ich will r * dT/dr.)

Der Ansatz ist im Prinzip richtig, aber zu kurz gesprungen. Bei 3-dimensionalen Zylinderkoordinaten hat man



Nach dem gleichen Prinzip bildet man die Ableitungen nach und und dann nach dem gleichen Prinzip die zweiten Ableitungen und dann addiert man alles. Das ergibt recht längliche Ausdrücke bevor sich dann einiges wieder heraushebt. Nur selten verlangt man von Studenten, das explizit durchzurechnen. Dafür gibt es Formelsammlungen und das Internet. Das Ergebnis findet man z. B. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Op...rei_Dimensionen

Bei einem rein radialen Wärmestrom fallen die Winkelableitungen weg und es ergeben sich die von dir genannten Formeln, wobei die für Kugelkoordinaten bei dir noch nicht ganz korrekt ist.

Für Kugelkoordinaten findest du hier die mühselige Umrechnung mal im Detail durchgeführt:

https://qudev.phys.ethz.ch/static/conten...hysikIVap6.html
trusty Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Da habe ich in der Tat nicht weit genug gedacht. Und die Links helfen sehr!
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