Koordinatentransformation in Ableitungen |
06.04.2021, 18:13 | trusty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Koordinatentransformation in Ableitungen Für einen konstanten Wärmestrom bei stationärer Wärmeleitung gilt Für ein konstantes k ist dann in Zylinderkoordinaten und in Kugelkoordinaten Aber wie leite ich die transformierten Varianten her? Ich habe bis jetzt immer nur Volumenintegrale koordinatentransformiert, da habe ich dann die Jacobi-Matrix aufgestellt und die Determinante verwendet. Das bekomme ich hin, det(J) = r für Zylinderkoordinaten und det(J) = r² cos(psi) für Kugelkoordinaten. Mir fällt auch auf, dass hier r bzw. r² in den Formeln stehen; ansonsten könnte außerhalb von d/dr(...) wegen der 0 auf der anderen Seite mal alles mögliche gestanden haben, z. B. kann das 1/r bei den Zylinderkoordinaten auch weggelassen werden. (Ausprobierter Ansatz (Zylinderkoordinaten): aber dr/dx ist nicht r und ich will r * dT/dr.) |
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06.04.2021, 21:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Koordinatentransformation in Ableitungen Für ein nicht von der Zeit abhängiges Temperaturfeld lautet die Wärmeleitungsgleichung in kartesischen Koordinaten ist der Laplaceoperator. Nur im 1-dimensionalen Fall vereinfacht sich das zu:
Für die Umrechnung in krummlinige Koordinatensysteme ist aber der allgemeine Fall zu betrachten. 1-dimensional gibt es keine krummlinigen Koordinaten.
Der Ansatz ist im Prinzip richtig, aber zu kurz gesprungen. Bei 3-dimensionalen Zylinderkoordinaten hat man Nach dem gleichen Prinzip bildet man die Ableitungen nach und und dann nach dem gleichen Prinzip die zweiten Ableitungen und dann addiert man alles. Das ergibt recht längliche Ausdrücke bevor sich dann einiges wieder heraushebt. Nur selten verlangt man von Studenten, das explizit durchzurechnen. Dafür gibt es Formelsammlungen und das Internet. Das Ergebnis findet man z. B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Op...rei_Dimensionen Bei einem rein radialen Wärmestrom fallen die Winkelableitungen weg und es ergeben sich die von dir genannten Formeln, wobei die für Kugelkoordinaten bei dir noch nicht ganz korrekt ist. Für Kugelkoordinaten findest du hier die mühselige Umrechnung mal im Detail durchgeführt: https://qudev.phys.ethz.ch/static/conten...hysikIVap6.html |
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06.04.2021, 22:19 | trusty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank! Da habe ich in der Tat nicht weit genug gedacht. Und die Links helfen sehr! |
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