Bernoulli Ungleichungskette

08.04.2021, 12:29

wunder-chris

Bernoulli Ungleichungskette

Meine Frage:
Die Ungleichungskette
$\begin{eqnarray*} 2 \le (1+\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}} \le (1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also die erste Ungleichung ist ja einsichtig, wie kommt man aber auf die nächste Ungleichung ?
Wenn ich versuche umzustellen also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}} \le \frac{1}{(1-\sqrt{n}*\frac{1}{\sqrt{n}})} \end{eqnarray*}$
Dann komme ich ja nicht auf eine Aussage.

08.04.2021, 12:58

G080421

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RE: Bernoulli Ungleichungskette
Die Mitte hat den Wert e, rechts kommt ebenfalls e raus, da 1/e^-1 = e gilt.

08.04.2021, 12:59

klarsoweit

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RE: Bernoulli Ungleichungskette
Leider kann ich jetzt nicht erkennen, wie du da umgestellt hast. Ich würde bei dieser Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}} \le (1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

08.04.2021, 13:15

wunder-chris

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RE: Bernoulli Ungleichungskette
Es hat ja
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n})}^{n} \end{eqnarray*}$
den Grenzwert e.
also auch automatisch dieser limes?
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}^{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
Wie kommt man darauf?

@klarsoweit
Ja das verstehe ich danke dir. Gute Idee mit der Multiplikation.

08.04.2021, 13:19

klarsoweit

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RE: Bernoulli Ungleichungskette

Zitat:

Original von wunder-chris
Wie kommt man darauf?

Nun ja, substituiere n = k² . Augenzwinkern

08.04.2021, 13:25

wunder-chris

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RE: Bernoulli Ungleichungskette
Ok, verständlich. Danke für die Antwort smile

09.04.2021, 08:35

klarsoweit

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RE: Bernoulli Ungleichungskette
Noch ein paar Worte dazu:

Mit der Substitution n = k² sehen wir, daß $\begin{eqnarray*} a_n := (1 + \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} b_n := (1 + \frac{1}{\sqrt n})^{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ ist.

Sofern klar ist, daß die Folge b_n konvergiert (das muß also separat bewiesen werden), hat diese den gleichen Grenzwert wie die Folge a_n.

09.04.2021, 09:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Sofern klar ist, daß die Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert (das muß also separat bewiesen werden)

Was gar nicht so trivial ist: Wenn man versucht, das elementar zu beweisen, dann stößt man auf das Problem: Was bedeutet $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ für irrationale Exponenten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ überhaupt?

Gewöhnlich nähert man sich dem für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ zunächst durch ganze $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , dann rationale $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ( " $\begin{eqnarray*} x= a^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray*}$ ist diejenige positive reelle Zahl mit $\begin{eqnarray*} x^q = a^p \end{eqnarray*}$ " ) und schließlich via Monotonie + Intervallschachtelung auch für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Hat man $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ schon eingeführt, geht es dann auch schlicht via $\begin{eqnarray*} a^b = \exp\left(b\cdot \ln(a)\right) \end{eqnarray*}$ . Mit letzterem könnte man hier etwa die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ betrachten und beweisen, dass sie für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ monoton wächst. Das resultiert dann in $\begin{eqnarray*} \ln(2)=g(1)\leq g\left(\sqrt{n}\right) = \sqrt{n}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ , was der linken Hälfte der Behauptung entspricht.

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