Unleserlich! Duale Basis berechnen

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Grimm Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis berechnen
Meine Frage:
Gegeben ist die Basis B = {10, t ? 1, t2 ? t} des Vektorraums R[t]?2 .
Nun muss ich die duale Basis B? von (R[t]?2)* berechnen aber ich weiß nicht wie das geht.


Meine Ideen:
Ich hab im Internet (unteranderem hier auf der Seite) gelesen, dass ich die drei Vektoren als Spaltenvektor aufschreiben muss und anschließend mit der dualen Basis multiplizieren muss, um auf eine Einheitsmatrix zu kommen aber ich verstehe nicht ganz wie das aussehen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, denn ich komme wirklich nicht weiter.
MfG Grimm
Grimm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis berechnen
Tut mir leid, dass die Zeichen nicht richtig dargestellt sind.
Die richtigen Zeichen lauten: {10;t-1traurig t^2)-t} und R[t]=<2
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hat man eine Basis eines Vektorraums, dann berechnet sich die duale Basis durch für für

Bekanntlich ist ja eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig festgelegt, also gilt das insbesondere für die Linearformen der dualen Basis.
Grimm Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Für B= {10, t-1, (t^2)-t} würde dann folgen B*= {1/10, 1/(t-1), 1/((t^2)-t)}. Somit wäre die Gleichung für delta ij= 1 bei i=j erfüllt aber wie erfüll ich die Bedingung mit delta ij=0 wenn i ungleich j ? Gibt es eine besonderen Trick dabei?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz falsch. Der Dualraum und insbesondere B* enthält Abbildungen vom Vektorraum in den Grundkörrper. B* enthält keine gebrochen rationalen Funktionen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

@Grimm: Poste bitte die Originalaufgabe.
Wie Elvis schon bemerkte, ist die duale Basis durch bereits eindeutig bestimmt. Da gibt es nichts weiter zu berechnen. Anders sieht es aus, wenn man hier das Bild eines allgemeinen Polynoms unter der dualen Basis angeben soll.
 
 
Grimm Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben sei die Basis B = {10, t - 1, (t^2)- t} des Vektorraums R[t]=<2. Berechnen Sie die zu B
duale Basis B* von (R[t]=<2)*.
Leider stehe ich gerade komplett aufm Schlauch um ehrlich zu sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die vollständige Antwort habe ich dir schon gegeben. Wo ist dein Problem?
Grimm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Hat man eine Basis eines Vektorraums, dann berechnet sich die duale Basis durch für für

Bekanntlich ist ja eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig festgelegt, also gilt das insbesondere für die Linearformen der dualen Basis.


Also ist das die Antwort und man braucht nichts zu berechnen obwohl es in der Aufgabenstellung steht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Antwort und sie enthält die Berechnung. In meiner unerschöpflichen Großzügigkeit habe ich auch noch eine Erklärung beigefügt. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es könnte schon gemeint sein, die Linearformen der dualen Basis so anzugeben, daß man ihre Antwort auf ein Polynom in Standarddarstellung nennt. Das hat URL schon bemerkt. Und dann wäre die Aufgabe noch nicht gelöst.



mit

Jetzt würden wegen die gerade die Koeffizienten in der obigen Darstellung zurückgeben, zum Beispiel

Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Oder wenn du etwas berechnen willst, nimm die Darstellung in der kanonischen Basis:



Jetzt bestimmst du die Komponenten der Dualbasisvektoren:





also


usw.
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