Orthogonale Vektoren

06.05.2021, 18:11

Pauls .

Orthogonale Vektoren

Meine Frage:
Bestimmen Sie alle Vektoren die zu a und b orthogonal sind.

a= (1 2 4 ) b = ( 5 6 7 )

Wie macht man das?

Meine Ideen:
a * n= 0

(1 2 4 ) * (n1 n2 n3)

1. Gleichung: 1*n1 + 2*n2 + 4*n3

2. Gleichung: 5*n1 + 6*n2 + 7*n3

Dann n3=1 setzten, so hat man dann nur noch 2 Unbekannte

Ab da komme ich dann nicht mehr weiter unglücklich

06.05.2021, 18:37

klauss

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RE: Orthogonal Vektoren
Zu lösen ist das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} x+2y+4z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x+6y+7z=0 \end{eqnarray*}$

erweitert:
I) $\begin{eqnarray*} 5x+10y+20z=0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} -(5x+6y+7z=0) \end{eqnarray*}$
---------------------------
III) $\begin{eqnarray*} 4y+13z=0 \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ausdrücken (III) und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ausdrücken (I oder ganz oben).

Dann entsteht ein Lösungsvektor der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(z) \\ y(z) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit einem freien Parameter.

Auf das gleiche Ergebnis kommt man allerdings wesentlich schneller mit dem Kreuzprodukt.

07.05.2021, 11:33

gast_free

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RE: Orthogonale Vektoren
Ja Kreuzprodukt ist das Mittel.

$\begin{eqnarray*} \vec v=\begin{vmatrix} e_x & e_y & e_z \\ 1 & 2 & 4 \\ 5 & 6& 7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec v=-10\cdot \vec e_x +13\cdot \vec e_y-4\cdot \vec e_z \end{eqnarray*}$

Was muss man tun um die übrigen orthogonalen Vektoren zu finden?

07.05.2021, 12:58

klauss

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RE: Orthogonale Vektoren
Alle Vielfachen davon sind auch orthogonal.
$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} -10 \\ 13 \\ -4 \end{pmatrix}~;~\lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

07.05.2021, 15:21

gast_free

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RE: Orthogonale Vektoren

Zitat:

Original von klauss
Alle Vielfachen davon sind auch orthogonal.
$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} -10 \\ 13 \\ -4 \end{pmatrix}~;~\lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Klar! Aber das sollte doch Klaus selber herausfinden. Alles wollte ich nicht verraten.

07.05.2021, 16:39

klauss

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RE: Orthogonale Vektoren

Zitat:

Original von gast_free
Aber das sollte doch Klaus selber herausfinden.

Hab ich doch ... Augenzwinkern

08.05.2021, 11:13

rumar

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RE: Orthogonale Vektoren
Was du mit der zuletzt angegebenen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \ \qquad \vec{v}\ =\ -10\, \vec{e}_x + 13\, \vec{e}_y -4\, \vec{e}_z \end{eqnarray*}$

meinst, müsstest du noch erklären ....

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