Ableitung einer Komposition

15.05.2021, 20:27	chainsaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Komposition Hallo Es geht um die Ableitung mittels Kettenregel von der Komposition $\begin{eqnarray} f \circ \vec{c} \end{eqnarray}$ für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=ln(1+x²+y²+z²) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c(t)}=\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ t^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Idee wäre die Nutzung der mehrdimensionalen Kettenregel : $\begin{eqnarray} \frac{df}{dt}=\frac{2x}{1+x^2+y^2+z^2} \cdot 0 + \frac{2y}{1+x^2+y^2+z^2} \cdot 1 + \frac{2z}{1+x^2+y^2+z^2} \cdot (-\frac{1}{t^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dt}=\frac{2t}{1+1²+t²+t^{-2}}-\frac{2}{t^3} \cdot \frac{1}{1+1²+t²+t^{-2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dt}=\frac{2}{2+t^2+t^{-2}} \cdot (t-\frac{1}{t^3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dt}=\frac{2}{(t+t^{-1})^2} \cdot (t-\frac{1}{t^3}) \end{eqnarray}$ Ist das so in Ordnung oder habe ich etwas falsch gemacht ? Falls es so stimmt, kann oder sollte man noch weiter vereinfachen ?
15.05.2021, 20:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Komposition So wie ich es sehe und nachgerechnet habe, stimmt das Ergebnis, wobei ich zur Klarheit die Vektorschreibweise bevorzugen würde. Dafür hättest Du einen Sonderpunkt für den letzten Schritt Zusammenfassen des Nenners zum Binom verdient. Vielleicht wäre es aber trotzdem schöner, alles auf einen Bruch zu einer gebrochenrationalen Funktion in $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zusammenzufassen. Ansonsten kannst Du zur Kontrolle auch $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einsetzen und dann $\begin{eqnarray} f(\vec{c}) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ableiten.
15.05.2021, 21:56	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig kunstvoller würde man das wie folgt rechnen. Zunächst gilt $\begin{eqnarray} (f\circ\vec c)'(t) = Df(\vec c(t))c'(t) = \langle\nabla f(\vec c(t)),\vec c'(t)\rangle \end{eqnarray}$ gemäß Kettenregel, soweit klar. Wir beachten außerdem $\begin{eqnarray} \nabla \|\vec r\|^2 = 2\vec r. \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} f(\vec r):=\ln(1+\|\vec r\|^2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec r=(x,y,z) \end{eqnarray}$ . Das macht $\begin{eqnarray} \nabla f(\vec r) = \frac{1}{1+\|\vec r\|^2}\nabla\|\vec r\|^2 = \frac{2\vec r}{1+\|\vec r\|^2} \end{eqnarray}$ unter Anwendung einer weiteren Form der Kettenregel. Wir haben also $\begin{eqnarray} (f\circ\vec c)'(t) = \langle \frac{2\vec c(t)}{1+\|\vec c(t)\|^2}, \vec c'(t)\rangle = \frac{2}{1+\|\vec c(t)\|^2}\langle\vec c(t),\vec c'(t)\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2}{2+t^2+t^{-2}}\Big(t-\frac{1}{t^3}\Big). \end{eqnarray}$

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