Integralgleichung

16.05.2021, 16:42

HiBee123

Integralgleichung

Hallo

Es gilt folgende Gleichung zu beweisen

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \cdot g(x) \, dx =f(a)\cdot\int_{a}^{\xi} \! g(x) \, dx + f(b)\cdot\int_{\xi}^{b} \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

hierbei ist f stetig differenzierbar und monoton und g stetig.

Ich dachte daran dass Integral erst aufzuteilen in $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \cdot g(x) \, dx =\int_{a}^{\xi} \! f(x)g(x) \, dx + \int_{\xi}^{b} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$
und dann irgendwie den allgemeinen Mittelwertsatz anzuwenden. (also, dass
$\begin{eqnarray*} \exists\xi \in [a,b] mit \int_{a}^{b} \! g(x)f(x) \, dx =f(\xi) \int_{a}^{b} \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ )

Leider komm ich hier nicht weiter...

16.05.2021, 17:04

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RE: Integralgleichung
Führe die Hilfsfunktion $\begin{eqnarray*} w(x)=\int_a^xg(t)dt \end{eqnarray*}$ ein.

16.05.2021, 19:35

HiBee123

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RE: Integralgleichung
Ich seh leider nicht wie das hilft...

16.05.2021, 19:44

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RE: Integralgleichung
Dann setz mal die Beziehung $\begin{eqnarray*} g=w' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \int_a^bfgdx \end{eqnarray*}$ ein.

17.05.2021, 12:46

HiBee123

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RE: Integralgleichung
Ah ja, Dann folgt mit partieller Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x)w'(x) \, dx = \left[f(x)w(x)\right]_{b}^{a} -\int_{a}^{b} \! f'(x)w(x) \, dx \end{eqnarray*}$ und umstellen

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x)w'(x) \, dx+\int_{a}^{b} \! f'(x)w(x) \, dx = \left[f(x)w(x)\right]_{b}^{a} =f(b)w(b)-f(a)w(a) \end{eqnarray*}$ und schließlich

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x)w'(x) \, dx +\int_{a}^{b} \! f'(x)w(x) \,dx=f(b)\int_{\xi}^{b} \! g(x) \, dx +f(a)\int_{a}^{\xi} \! g(x) \ dx \end{eqnarray*}$

Aber jetzt stört noch der Term $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f'(x)w(x) \,dx \end{eqnarray*}$

17.05.2021, 19:15

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RE: Integralgleichung

Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x)w'(x) \, dx+\int_{a}^{b} \! f'(x)w(x) \, dx = \left[f(x)w(x)\right]_{b}^{a} =f(b)w(b)-f(a)w(a) \end{eqnarray*}$

Überleg dir, was $\begin{eqnarray*} w(a) \end{eqnarray*}$ ist. Dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^bf'wdx \end{eqnarray*}$ kann man mit deiner ersten Idee, dem allgemeinen Mittelwertsatz, zu Leibe rücken.

17.05.2021, 21:27

HiBee123

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RE: Integralgleichung
Ah ja. w(a) ist natürlich 0 , jetzt seh ich auch wohin das ganze läuft.
Jetzt versuch ich das noch wasserfest zu machen, aber soweit, Danke schonmal! Blumen

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