Grenzwert

31.05.2021, 10:41

Abioa

Grenzwert

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \sin{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Hey, ich habe eine Frage dazu, unser Lehrer hat hier einfach den Betrag von f(x) genommen, was ich irgendwie nicht verstehe. Weil er würde doch so die Funktion ändern, er betrachtet doch nur f wenns positiv ist, aber was ist dann wenns negativ ist, wohin läuft es dann? Kann man dir jemand bitte auf die Sprünge helfen.

31.05.2021, 11:22

Finn_

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Du hast hier die Situation $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)h(x) \end{eqnarray*}$ vorliegen, wobei $\begin{eqnarray*} g(x)\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Es gibt also eine Schranke $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |h(x)|\le s \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Die Ungleichung multiplizierst du auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} |g(x)| \end{eqnarray*}$ und erhältst

$\begin{eqnarray*} |f(x)| = |g(x)|\cdot |h(x)|\le |g(x)|\cdot s. \end{eqnarray*}$

Das heißt, $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} |g(x)|\cdot s \end{eqnarray*}$ eingeschnürt. Wegen $\begin{eqnarray*} g(x)\to 0 \end{eqnarray*}$ geht auch $\begin{eqnarray*} |g(x)|\cdot s\to 0 \end{eqnarray*}$ . Demzufolge muss auch $\begin{eqnarray*} |f(x)|\to 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x)\to 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren.

31.05.2021, 11:24

G310521

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Wie soll ein Schüler auf sowas kommen? verwirrt

Das setzt m.E. einige Erfahrung voraus.

31.05.2021, 12:02

Huggy

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Natürlich sollte ein Schüler da drauf kommen, wenn Grenzwerte durchgenommen worden sind. Das ist ein Standardnachweis ohne jede Komplikation.

Um die Antwort von Finn_ mal bezogen auf die gegebene Funktion in Worten auszudrücken: Der Sinus ist dem Betrag nach durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ beschränkt.

$\begin{eqnarray*} |\sin \frac 1 x| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Deshalb muss man sich nicht um sein Vorzeichen kümmern. Wenn eine dem Betrag nach beschränkte Funktion mit einer Funktion multipliziert wird, deren Grenzwert Null ist, dann ist der Grenzwert des Produkts auch Null.

31.05.2021, 15:35

klarsoweit

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Abioa
Hey, ich habe eine Frage dazu, unser Lehrer hat hier einfach den Betrag von f(x) genommen, was ich irgendwie nicht verstehe. Weil er würde doch so die Funktion ändern, er betrachtet doch nur f wenns positiv ist, aber was ist dann wenns negativ ist, wohin läuft es dann? Kann man dir jemand bitte auf die Sprünge helfen.

Auf diese Frage wurde vielleicht nicht explizit eingegangen. Im Prinzip ändert sich mit dem Betrag auch der Verlauf der Funktion. Allerdings gilt (und vielleicht wurde das auch durchgenommen) diese Äquivalenz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} |f(x)| = 0 \end{eqnarray*}$

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