Flussintegral

27.06.2021, 15:12

astrobot

Flussintegral

Hallo

Gegeben sei das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{F} =\begin{pmatrix} y \\ z \\ x^2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R ^3| x^2+y^2 \leq z \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$ , was vermutlich ein Paraboloid der Höhe h=1 ist ( stimmt das ? )

Zu berechnen ist nun das Flussintegral $\begin{eqnarray*} \int \int_{\delta P}~ \vec{F} \cdot d \vec{S} \end{eqnarray*}$ bzgl. der äußeren Normalen.

Wenn meine Vermutung stimmt, dann würde ich die folgende Parametrisierung wählen :

$\begin{eqnarray*} x= u \cdot cos(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= u \cdot sin(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=u^2 \end{eqnarray*}$

Wie würdet ihr beim Lösen des Flussintegrals vorgehen ?

27.06.2021, 16:00

cst

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RE: Flussintegral

Zitat:

Original von astrobot
vermutlich ein Paraboloid der Höhe h=1 ist ( stimmt das ? )

Ja, dürfte stimmen, ein Rotationsparaboloid eigentlich.

Zitat:

Original von astrobot
Wie würdet ihr beim Lösen des Flussintegrals vorgehen ?

Nach Möglichkeit den Satz von Gauß anwenden, das ist fast immer einfacher. Und als Parametrisierung würde ich einfach Zylinderkoordinaten nehmen.

27.06.2021, 17:42

astrobot

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Ok, ich probiere es mal mit dem Gaußschen Integralsatz :

$\begin{eqnarray*} div(\vec{F}) \end{eqnarray*}$ müsste ja einfach nur x² sein, oder ?

Bevor ich irgendwelche Parametrisierungen probiere, geht es evtl auch kartesisch ?

$\begin{eqnarray*} \int\int\int_P~x^2~dxdydz=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{x^2+y^2}^{1}~x^2~dzdydx \end{eqnarray*}$

Macht das Sinn oder habe ich die Grenzen falsch gewählt ?

27.06.2021, 18:10

cst

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$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec F = x^2 \end{eqnarray*}$ hab ich auch.

Die Grenzen müssten meines Erachtens stimmen; grundsätzlich müsste alles in kartesischen Koordinaten ebenfalls gehen und dasselbe rauskommen. Probier ruhig einfach mal, notfalls wechselst du halt doch zu Zylinderkoordinaten, wenn es zu kompliziert wird.

27.06.2021, 19:37

astrobot

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Mit kartesischen Koordinaten wird mir das zu kompliziert.

Ich möchte es mit Parametrisierung versuchen.
Ich habe Probleme mit den Zylinderkoordinaten.
Ich starte mal einen Versuch, aber das ist bestimmt falsch :

$\begin{eqnarray*} x= r \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= r \cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dV=r \cdot d\varphi dr dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=r^2 \cdot cos^2(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\int\int_P~x^2~dxdydz=\int_{0}^1\int_{0}^{1}\int_{0}^{2 \pi}~r^2 \cdot cos^2(\varphi) \cdot r \cdot d\varphi dr dz \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand unter die Arme greifen beim Aufstellen des Integrals ?

27.06.2021, 20:09

cst

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Zitat:

Original von astrobot
Mit kartesischen Koordinaten wird mir das zu kompliziert.

Dacht ich's mir doch. Augenzwinkern

Zitat:

Original von astrobot

$\begin{eqnarray*} \int\int\int_P~x^2~dxdydz=\int_{0}^1\int_{0}^{1}\int_{0}^{2 \pi}~r^2 \cdot cos^2(\varphi) \cdot r \cdot d\varphi dr dz \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand unter die Arme greifen beim Aufstellen des Integrals ?

Das sieht ziemlich gut aus -- bis auf eine Sache.
Volumenelement dV: stimmt.
Egal, wie $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sind, $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ geht "einmal in die Runde", also von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ - stimmt.
Die z-Integration hast du nach außen, also läuft z von 0 bis 1 - stimmt.
Aber r geht gemäß der Definition von P nur von 0 bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq z \end{eqnarray*}$ .

27.06.2021, 21:25

astrobot

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Vielen Dank für die Hilfe.

Ich versuche es mal :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{z}}\int_{0}^{2 \pi}~r^2 \cdot cos^2(\varphi) \cdot r \cdot d\varphi dr dz=\int_0^1~1~dz \cdot \int_0^{\sqrt{z}}~r^3~dr \cdot \int_0^{2 \pi}~cos^2(\varphi)~d\varphi=\int_0^1~1~dz \cdot \int_0^{\sqrt{z}}~r^3~dr \cdot \left[\frac{1}{2} \cdot (sin(x)cos(x)+x)\right]_{0}^{2 \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \pi \cdot \int_0^1~1~dz \cdot \int_0^{\sqrt{z}}~r^3~dr= \pi \cdot \int_0^1~1~dz \cdot \frac{1}{4}z^2=\frac{\pi}{4} \cdot \int_0^1z^2~dz=\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{\pi}{12} \end{eqnarray*}$

Kommt das so hin ? verwirrt

27.06.2021, 23:25

cst

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Ist doch richtig. smile

Eine Anmerkung hätte ich allenfalls zur Schreibweise:

Zitat:

Original von astrobot
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{z}}\int_{0}^{2 \pi}~r^2 \cdot cos^2(\varphi) \cdot r \cdot d\varphi dr dz=\ldots \cdot \int_0^{2 \pi}~cos^2(\varphi)~d\varphi \end{eqnarray*}$

Das ist okay so. Da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in den anderen beiden Integralen nicht vorkommt, auch nicht in den Grenzen, konntest du es als extra Faktor schreiben. Aber die anderen beiden Integrale würde ich korrekterweise verschachtelt stehen lassen, da die Integrationsvariable des äußeren Integrals, z, in der Grenze des inneren Integrals vorkommt. Also so:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{z}}\int_{0}^{2 \pi}~r^2 \cdot \cos^2(\varphi) \cdot r \cdot \dd\varphi \dd r \dd z=\int_0^1~\int_0^{\sqrt{z}}~r^3~\dd r~\dd z \cdot \int_0^{2 \pi}~\cos^2(\varphi)~d\varphi \end{eqnarray*}$ .

Du hast richtigerweise das $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ wieder unter das Integral gezogen:

Zitat:

Original von astrobot
$\begin{eqnarray*} ...= \pi \cdot \int_0^1~1~dz \cdot \frac{1}{4}z^2=\frac{\pi}{4} \cdot \int_0^1z^2~dz=... \end{eqnarray*}$

daher stimmt das Ergebnis doch wieder; es geht wie gesagt um die Schreibweise. Werte beim Doppelintegral einfach das innere Integral aus und lass das äußere zunächst stehen, dann stimmt es automatisch.

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