Lösen einer Logarithmus-Gleichung

04.07.2021, 19:47	harvok	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Logarithmus-Gleichung Meine Frage: Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass folgende Gleichungen Lösungen besitzen: $\begin{eqnarray} e^{x} =x+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3^{(6^x)}=5^{(4^x)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Jedoch komme ich einfach nicht auf den Lösungsweg. Hat von euch jemand eine Idee? (:
04.07.2021, 20:05	G040721	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Lösen einer Logarithmus-Funktion 1. Algebraisch nicht lösbar. Näherungsverfahren! 2. logarithmieren 6^xln3 = 4^xln5 (6/4)^x= ln5/ln3 x= ...
04.07.2021, 20:19	harvok	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Lösen einer Logarithmus-Funktion Vielen Dank! (: Hast du auch eine Idee zur ersten Gleichung? Habe gerade erst verstanden, was du mit 1. gemeint hast! Dann hat sich meine Frage hiermit erledigt! Danke
04.07.2021, 20:45	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Aufgabe ist algebraisch lösbar, wenn man eine spezielle Funktion, die Lambert-W-Funktion heranzieht. Zunächst äquivalent umformen: $\begin{eqnarray} e^x = x+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff (x+2)e^{-x} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff -(x+2)e^{-x}e^{-2} = -e^{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff -(x+2)e^{-(x+2)} = -e^{-2} \end{eqnarray}$ Nun die W-Funktion auf beiden Seiten anwenden, das bringt: $\begin{eqnarray} -(x+2) = W(-e^{-2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff x = -2-W(-e^{-2}) \end{eqnarray}$ Das Argument $\begin{eqnarray} -e^{-2} \end{eqnarray}$ liegt in einem Bereich, wo die W-Funktion zwei Äste besitzt. Es gibt zwei Lösungen, jeweils eine pro Ast der W-Funktion.
05.07.2021, 15:45	gast_free	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen einer Logarithmus-Gleichung Funktion zeichnen: Newton Iteration (Rechte Nullstelle): $\begin{eqnarray} e^x=x+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=e^x-x-2=0 \end{eqnarray}$ Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=e^x-1 \end{eqnarray}$ Startpunkt suchen (Punkt der nach Kurve dicht am Nullpunkt liegt): z.B xp=1,8 Schnittpunkt der Tangente von f'(xp) auf der x-Achse: $\begin{eqnarray} f'(x_p)=e^{x_p}-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_p)=(e^{x_p}-1)\cdot x_p + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=f(x_p)-(e^{x_p}-1)\cdot x_p \end{eqnarray}$ Tangentengleichung Schnittpunkt x-Achse: $\begin{eqnarray} (e^{x_p}-1)\cdot x+f(x_p)-(e^{x_p}-1)\cdot x_p=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=x_p-\frac{f(x_p)}{e^{x_p}-1} \end{eqnarray}$ Erste Iteration. Zahlen: $\begin{eqnarray} x_1=1,8-\frac{2,24}{5,05}=1,35 \end{eqnarray}$ Erste Iteration. $\begin{eqnarray} x_2=1,35-\frac{0,51}{2,86}=1,17 \end{eqnarray}$ Zweite Iteration. $\begin{eqnarray} x_3=1,17-\frac{0,05}{2,22}=1,15 \end{eqnarray}$ Dritte Iteration. $\begin{eqnarray} x_4=1,15-\frac{0,0008}{2,16}=1,15 \end{eqnarray}$ Vierte Iteration. Man kann das Spiel genauer mit mehr Stellen und mehr Iterationen weiter treiben. Probe: $\begin{eqnarray} e^{1,15}\approx 1,15+2 \end{eqnarray}$
05.07.2021, 18:08	G050721	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen einer Logarithmus-Gleichung @Finn: Ein Schüler kennt Lambert mit Sicherheit nicht. Er wird deine Antwort nicht nachvollziehen können.
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05.07.2021, 22:52	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann will ich noch zeigen, wie man beide Lösungen innerhalb von zwanzig Sekunden ermittelt, da braucht man keine W-Funktion für. Zunächst die Funktionen $\begin{eqnarray} x\mapsto e^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\mapsto x+2 \end{eqnarray}$ mental vorstellen und einsehen dass es zwei Schnittpunkte geben muss. Die Gleichung $\begin{eqnarray} e^x=x+2 \end{eqnarray}$ nun Logarithmieren, das resultiert in $\begin{eqnarray} x = \ln(x+2) \end{eqnarray}$ . Das ist eine Fixpunktgleichung. Zu dieser bildet man die Fixpunktiteration $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\ln(x_n+2) \end{eqnarray}$ und wählt dafür $\begin{eqnarray} x_0:=1 \end{eqnarray}$ als Startstelle. Mit meinem Taschenrechner kann ich folgendes tun. Ich setze Ans auf 1 und gebe die Berechnung $\begin{eqnarray} \ln(\mathrm{Ans}+2) \end{eqnarray}$ ein und drücke dann immer wieder auf die Berechnen-Taste. Da kommt schließlich 1.146193221 raus. Nun die Gleichung $\begin{eqnarray} e^x=x+2 \end{eqnarray}$ umformen zu $\begin{eqnarray} x=e^x-2 \end{eqnarray}$ . Wieder hat man eine Fixpunktgleichung, zu welcher die Fixpunktiteration gebildet wird. Dieses Mal $\begin{eqnarray} x_0:=-1 \end{eqnarray}$ als Startstelle wählen und $\begin{eqnarray} \exp(\mathrm{Ans})-2 \end{eqnarray}$ iterieren. Da kommt -1.84140566 raus.

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