Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix berechnen

12.07.2021, 18:59	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix berechnen Hallo zusammen, ich bräuchte mal eure Hilfe bei folgendem Beispiel. Es geht um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit Lambda erweitert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 1 \\ 4 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für die Eigenwerte habe ich folgende Werte berechnet: $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=6 \end{eqnarray}$ Nun zu den Eigenvektoren. Ich habe das folgendermaßen berechnet. Aus der Matrix erstelle ich folgende Gleichungen: $\begin{eqnarray} (5-\lambda)x+1y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x+(2-\lambda)y=0 \end{eqnarray}$ Jetzt nehme ich mal Lamba2 her und setze es in die Gleichungen ein: $\begin{eqnarray} (5-6)x+1y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x+(2-6)y=0 \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich zwei Gleichungen. Aber ich benötige ja nur eine, oder? Ich kann jetzt den Vektor mit der ersten oder zweiten Gleichung bestimmen. Mit Gleichung 1: $\begin{eqnarray} (5-6)x+1y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ Dann würde der Eigenvektor so aussehen: $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Oder ich nehme Gleichung 2: $\begin{eqnarray} 4x+(2-6)y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x-4y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x=4y \end{eqnarray}$ Dann würde der Eigenvektor so aussehen: $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 4 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? VG
12.07.2021, 19:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix berechnen Gleichung 1 und Gleichung 2 liefern beide die selbe Bedingung $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Ein Eigenvektor (den Eigenvektor gibt es nicht) ist dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Deine beiden Vektoren sind auch Eigenvektoren zum Eigenwert 6, allerdings für mein Empfinden unnötig kompliziert. Woher die Wurzel kommt ist mir schleierhaft. Eine Normierung ist es jedenfalls nicht. Übrigens kann man hier die Eigenwerte ohne Rechnung ablesen. In jeder Zeile ist die Summe der Elemente gleich 6. Damit ist 6 ein Eigenwert, der zugehörige Eigenvektor hat in jeder Komponente den Wert 1. Die Spur, also die Summe der Diagonalelemente, ist die Summe der Eigenwerte. Die Spur ist 7, ein Eigenwert ist 6, der zweite also 1
12.07.2021, 19:28	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sind beide Richtig? $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 4 \\4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ SG
12.07.2021, 19:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfache von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Eigenvektor. Du solltest vielleicht einen Blick auf die Definition des Eigenraums werfen.

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