Mächtigkeiten und Vereinigungen [Mengenlehre]

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Kcntr Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeiten und Vereinigungen [Mengenlehre]
Hi alle zusammen,

ich bin Schüler und befinde mich im Moment aus Interesse auf einer kleinen Reise durch die Mengenlehre. Dabei bin ich auf folgende Aussage gestoßen:

Seien Mengen und es gelte , wobei und nicht notwendigerweise eine leere Schnittmenge haben. Dann gilt auch .

Ich sehe noch nicht so recht, wie ich das angehe. Klar ist ja, dass es Bijektionen und geben muss und es eine Bijektion geben sollte, deren Existenz ich zeigen möchte. Meine erste naive Idee war, alle Elemente aus mit und alle Elemente aus mit auf abzubilden und alle Elemente aus mit der Identität einfach dort zu lassen. Das habe ich aber sofort wieder verworfen, weil ich dann ja die Injektivität der entstehenden Funktion nicht gewährleisten könnte. Ebenso wenig wäre klar, was mit Elementen passiert, die in der möglicherweise nicht-leeren Schnittmenge leben.

Könnte mir jemand eine Idee/eine Intuition/einen Anfangspunkt geben, wie ich in den Beweis einsteigen kann? Ich habe große Freude an solchen Beweisen smile
Sxlaxs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mächtigkeiten und Vereinigungen [Mengenlehre]
Wenn die Mengen endlich sind, dann überlegt dir mal welche Beziehung zwischen A und B bow C bestehen muss.
Wenn die Mengen unendlich sind, dann ist folgt es direkt aus der Definiton
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht, eine Bijektion zu finden.

Ich habe ehrlich gesagt auf die Schnelle nichts gefunden, was man einfach so hinschreiben kann. Dass B und C nichtleeren Schnitt haben können, verkompliziert die Sache. Wenn du allerdings den Satz von Cantor-Bernstein-Schröder kennst, reicht es sogar, eine Injektion zu finden und das ist gar nicht so schwer. Kommst du damit weiter?
Kcntr Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab noch mal geschaut. Ich wollte den Satz von Cantor-Bernstein eigentlich nicht benutzen, aber sei's drum. Ich versuche, zu zeigen, dass es eine Injektion und eine Injektion , gibt, da es dann auch eine Bijektion gibt. Wenn ich wähle, ist diese Richtung schon mal erledigt, oder?

Jetzt meine Überlegung zur anderen Richtung: ich brauche eine Funktion, die injektiv nach abbildet und habe gegeben, die beide nach Voraussetzung Injektionen sind. Ein Element aus kann einfach mit nach umziehen. Die Elemente aus müssen auch nach , dafür kann ich aber nicht bloß verwenden, weil ich dann die Injektivität nicht gewährleisten könnte. Da aber injektiv ist, müsste das mit gehen. Also:



Wenn es nun gibt mit , dann ist und wegen der Injektivität von und auch . Ähnlich argumentiert man, wenn beide Elemente aus oder kommen.

Wenn und gilt, dann folgt daraus und somit auch , was ein Widerspruch ist, da .

Alle anderen möglichen Fälle lassen sich mit derselben Argumentation erschlagen. Also müsste injektiv sein. Zusammen mit weiß ich dann, dass die gesuchte Bijektion existiert. Kann man das so machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion sieht gut aus - die Argumentation dazu enthält aber eine Unsauberkeit:

Zitat:
Original von Kcntr
Wenn und gilt, dann folgt daraus und somit auch , was ein Widerspruch ist, da .

Ich sehe da keinen Widerspruch. Das liegt aber daran, dass du von Start weg nicht alles genutzt hast, was die Fallbedingung an Information liefert. Mit der leichten Korrektur

Zitat:
Wenn und gilt, dann folgt daraus und somit auch , was ein Widerspruch ist, da .

klappt es.
Kcntr Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja, ich meinte tatsächlich diesen Fall, habe es aber schlicht falsch aufgeschrieben. Danke, dass du drüber geschaut hast smile
 
 
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