Definition Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

26.07.2021, 16:10	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung Ich habe folgende 3 Gleichungen vorzuliegen: $\begin{eqnarray} y_1(x) = y_2(x) + y_3(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 y_1(x) + 3 y'_3(x) + 2y_3(x) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - 4y_2 + 3 y'_3(x) + 2y_3(x) = 0 \end{eqnarray}$ Ist dies ein Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung? Schließlich kann die Gleichungen nicht auf die Form $\begin{eqnarray} \mathbf{y}'(x) = \mathbf{A} \mathbf{y}(x) + \mathbf{b}(x) \end{eqnarray}$ zurückgeführt werden. Dabei bezeichne A eine konstante Koeffiizientenmatrix und b(x) die jeweilige Störfunktion. Mein Problem ist, dass die Ableitung $\begin{eqnarray} y'_3 \end{eqnarray}$ in mehr als in einer Gleichung vorkommt. Aber in einem System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung taucht doch jede Ableitung koeffizientenfrei nur einmal auf, also: $\begin{eqnarray} y_1'(x) = a_{1,1} \, y_1(x) + a_{2,1} \, y_2(x) + a_{3,1} \, y_3(x) + b_1(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2'(x) = a_{1,2} \, y_1(x) + a_{2,2} \, y_2(x) + a_{3,2} \, y_3(x) + b_2(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_3'(x) = a_{1,3} \, y_1(x) + a_{2,3} \, y_2(x) + a_{3,3} \, y_3(x) + b_3(x) \end{eqnarray}$ In den obigen Gleichungen tauchen $\begin{eqnarray} y_2'(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_3'(x) \end{eqnarray}$ nicht auf! Gleichzeitig heißt das nicht automatisch, dass beide gleich Null gesetzt werden können, die Ableitung von $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ ist ja nicht näher definiert. Dennoch habe ich ein Gleichungssystem aus linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung, dass sich sogar auflösen lässt: Die zweite Gleichung wird nach $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ aufgelöst, die dritte Gleichung nach $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und beides in Gleichung 1 eingesetzt. Als Ergebnis erhalten wir die lineare DGL 1. Ordnung: $\begin{eqnarray} -\frac{21}{10} y'_3 + \frac{12}{5} y_3 = \frac{-2}{5} \end{eqnarray}$ die ohne Probleme gelöst werden kann. Mit der Lösung zu $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ ist auch die für $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ schnell gefinden Aber war das Ausgangsystem nun ein Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung oder nicht?
26.07.2021, 18:24	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Verrain, das ist ein Deskriptorsystem. Oftmals lassen sich Deskriptorsysteme in Differentialgleichungssysteme umwandeln.
27.07.2021, 14:08	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Papuga, Vielen Dank für deine Antwort, das hat mir echt geholfen. Schwieriges Wort, darauf wäre ich auf meiner Suche nie gekommen ^^. Verrain

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